Obtenha por meio de integral dupla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado pelo paraboloide a z=x^2+y^2, pelo plano x y c pelo cilindro x^2+y^2=2 a y com a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de volumes usando integrais duplas em coordenadas cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide $ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{a} $, pelo plano $ xy $ e pelo cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2a y $. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e configurar nossa integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar todas as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Então, o paraboloide fica:
x^2 + y^2 = r^2
E o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2a y $ se transforma em:
z = r^2a
(Considerando $ r \neq 0 $).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro $ r = 2a \sin \theta $ nos dá o limite máximo para $ r $. Para $ \theta $, observamos que $ \sin \theta $ deve ser positivo, então $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $. E para $ z $, ele vai do plano $ xy $ (onde $ z = 0 $) até o paraboloide $ z = \frac{r^{2}}{a} $.
Então, os limites são:
r = 2a sin theta

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ r , dr , d\theta $.
Então, a integral fica:
r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2a sin theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^2a sin theta = (2a sin theta)^44 = 16 a^4 sin^4 theta4 = 4 a^4 sin^4 theta
Agora, substituímos de volta na integral externa:
V = 1a integral0^pi 4 a^4 sin^4 theta , dtheta = 4 a^3 integral0^pi sin^4 theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^4 theta , dtheta = 3pi8
Portanto:
V = 4 a^3 cdot 3pi8 = 12pi a^38 = 3pi a^32

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{3\pi a^{3}}{2} $.

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