Obtenha por meio de integral dupla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado pelo paraboloide
, pelo plano
c pelo cilindro
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de volumes usando integrais duplas em coordenadas cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide $ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{a} $, pelo plano $ xy $ e pelo cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2a y $. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e configurar nossa integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar todas as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
E $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Então, o paraboloide fica:
E o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2a y $ se transforma em:
(Considerando $ r \neq 0 $).
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro $ r = 2a \sin \theta $ nos dá o limite máximo para $ r $. Para $ \theta $, observamos que $ \sin \theta $ deve ser positivo, então $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $. E para $ z $, ele vai do plano $ xy $ (onde $ z = 0 $) até o paraboloide $ z = \frac{r^{2}}{a} $.
Então, os limites são:
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ r , dr , d\theta $.
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{3\pi a^{3}}{2} $.