Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=\left(\operatorname{sen} t, \operatorname{sen}^{2} t\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{f}(t)=\big(\sin t,\;\sin^{2}t\big)
para t\in\mathbb{R} e pede que eu esboce a trajetória da partícula P.
Informações relevantes que temos:
  • A componente x da posição é \sin t.
  • A componente y da posição é \sin^{2}t.
  • Precisamos representar a curva no plano (x,y) e entender como a partícula se move ao longo dela (orientação e repetição).

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t para encontrar a equação da curva no plano xy. Chamando
x=\sin t
e
y=\sin^{2}t,
substituímos a primeira na segunda. Como \sin^{2}t=(\sin t)^{2}, obtemos a relação
y = x^{2}.
Explicando com calma: eliminamos t porque tínhamos x expresso em função de t e y expresso em função de t; ao escrever y em termos de \sin t e substituir \sin t = x, chegamos à equação entre x e y.

Passo 3

Definindo o domínio da curva: como x=\sin t, sabemos que
-1 \le x \le 1.
Portanto a trajetória é a porção da parábola
y=x^{2}
restrita ao intervalo
-1\le x\le 1.
Em outras palavras, a curva no plano é o “arco” da parábola entre os pontos (-1,1) e (1,1), passando por (0,0). O valor de y fica entre 0 e 1.

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos importantes (usei valores de \sin conhecidos):
\begin{aligned} t=0 &\Rightarrow \vec{f}(0)=\big(\sin 0,\sin^{2}0\big)=(0,0),\\\ t=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow \vec{f}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=\big(1,1\big),\\\ t=\pi &\Rightarrow \vec{f}(\pi)=\big(0,0\big),\\\ t=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow \vec{f}\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=\big(-1,1\big),\\\ t=2\pi &\Rightarrow \vec{f}(2\pi)=\big(0,0\big). \end{aligned}
Esses pontos ajudam no esboço: (0,0), (1,1) e (-1,1) e o arco da parábola entre eles.

Passo 5

Agora a orientação (sentido do movimento). A componente x varia com velocidade
x'(t)=\frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Quando \cos t>0, x está aumentando (movendo-se para a direita); quando \cos t<0, x está diminuindo (movendo-se para a esquerda). Usando isso e os pontos do passo anterior, descrevo o movimento para t crescente:
  • De t=0 a t=\tfrac{\pi}{2}: \cos t>0, o ponto vai de (0,0) até (1,1) movendo-se pela parábola para a direita e para cima.
  • De t=\tfrac{\pi}{2} a t=\pi: \cos t<0, o ponto volta de (1,1) a (0,0) movendo-se para a esquerda.
  • De t=\pi a t=\tfrac{3\pi}{2}: o ponto vai de (0,0) a (-1,1).
  • De t=\tfrac{3\pi}{2} a t=2\pi: o ponto volta de (-1,1) a (0,0).
    Portanto a partícula percorre a mesma porção da parábola várias vezes, indo e vindo entre os pontos citados. O movimento é periódico com período 2\pi, ou seja, para t e t+2\pi a posição repete.

Passo 6

Observações úteis para o esboço à mão (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe o eixo x e y.
  2. Faça a parábola y=x^{2} apenas para -1\le x\le 1.
  3. Marque os pontos (-1,1), (0,0) e (1,1).
  4. Coloque setas indicando o sentido: por exemplo, a sequência para t aumentando a partir de 0 é (0,0)\to(1,1)\to(0,0)\to(-1,1)\to(0,0) e assim por diante.
  5. Anote que a curva é percorrida repetidamente (vai e volta), e que todos os pontos têm 0\le y\le 1.

Resposta

A trajetória é a porção da parábola \;y=x^{2}\; com -1\le x\le 1, isto é, o arco entre (-1,1) e (1,1) passando por (0,0).
Orientação: ao aumentar t a partícula vai de (0,0) a (1,1), volta a (0,0), vai a (-1,1), volta a (0,0) e repete esse padrão periodicamente (período 2\pi).

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