Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
para
e pede que eu esboce a trajetória da partícula
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A componente
da posição é . - A componente
da posição é . - Precisamos representar a curva no plano
e entender como a partícula se move ao longo dela (orientação e repetição).
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
para encontrar a equação da curva no plano
. Chamando
e
substituímos a primeira na segunda. Como
, obtemos a relação
Explicando com calma: eliminamos
porque tínhamos
expresso em função de
e
expresso em função de
; ao escrever
em termos de
e substituir
, chegamos à equação entre
e
.
Passo 3
Definindo o domínio da curva: como
, sabemos que
Portanto a trajetória é a porção da parábola
restrita ao intervalo
Em outras palavras, a curva no plano é o “arco” da parábola entre os pontos
e
, passando por
. O valor de
fica entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular alguns pontos importantes (usei valores de
conhecidos):
Esses pontos ajudam no esboço:
,
e
e o arco da parábola entre eles.
Passo 5
Agora a orientação (sentido do movimento). A componente
varia com velocidade
Quando
,
está aumentando (movendo-se para a direita); quando
,
está diminuindo (movendo-se para a esquerda). Usando isso e os pontos do passo anterior, descrevo o movimento para
crescente:
- De
a : , o ponto vai de até movendo-se pela parábola para a direita e para cima. - De
a : , o ponto volta de a movendo-se para a esquerda. - De
a : o ponto vai de a . - De
a : o ponto volta de a .
Portanto a partícula percorre a mesma porção da parábola várias vezes, indo e vindo entre os pontos citados. O movimento é periódico com período, ou seja, para e a posição repete.
Passo 6
Observações úteis para o esboço à mão (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe o eixo
e . - Faça a parábola
apenas para . - Marque os pontos
, e . - Coloque setas indicando o sentido: por exemplo, a sequência para
aumentando a partir de é e assim por diante. - Anote que a curva é percorrida repetidamente (vai e volta), e que todos os pontos têm
.
Resposta
A trajetória é a porção da parábola
com
, isto é, o arco entre
e
passando por
.
Orientação: ao aumentar a partícula vai de
a
, volta a
, vai a
, volta a
e repete esse padrão periodicamente (período
).
Orientação: ao aumentar