Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula
cuja posição em função do tempo é dada por
Informações dadas:
;A equação paramétrica da curva:
;O parâmetro
varia apenas em
— portanto só a “parte positiva” da curva é considerada.
;O objetivo é produzir um esboço (ou descrição geométrica) da linha de movimento, indicando direção, pontos importantes e como desenhar.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para entender a forma geométrica da curva. Como
Substituindo
em
obtemos
Portanto a curva satisfaz simultaneamente
com
). Esta é a forma sem parâmetro, muito útil para visualizar.]
Passo 3
Interpretando as equações: a curva é uma parábola (porque
) que vive no plano inclinado definido por
. Outra forma de ver: é a interseção entre o plano
e o paraboloide (ou curva quadrática ao “longo” de
)
Geometricamente, imagine o plano que corta o espaço na direção
; sobre esse plano há uma parábola que tem vértice na origem e abre para cima no eixo
.
Passo 4
Calcule alguns pontos para guiar o esboço (peguei os valores diretamente da função paramétrica):
Use esses pontos no esboço: o vértice está em
; para
maiores,
cresce como
, então a curva sobe cada vez mais rápido.
Passo 5
Projete a curva nos planos coordenados para facilitar o desenho:
;Projeção no plano
: como
, a projeção é a reta
— uma linha em 45° no plano
.
;Projeção no plano
: é a parábola
para
.
;Projeção no plano
: como
, a projeção coincide com a do
trocando
por
:
,
.
Desenhe primeiro a reta no plano
, depois sobre essa direção desenhe a parábola
.
Desenhe primeiro a reta
Passo 6
Direção do movimento: calcule a derivada (vetor tangente)
Significado:
;A componente horizontal constante
mostra que, ao projetar no plano
, a partícula se move sempre no sentido de
e
crescentes (na direção
).
;A componente vertical
indica que a inclinação em
aumenta com
: no início (tanto em
) a tangente é horizontal no eixo
porque
; para
a componente em
fica positiva e cresce linearmente, fazendo a curva subir cada vez mais íngreme.
Passo 7
Passo-a-passo prático para esboçar na prova (faça isso sem calculadora):
;Trace os eixos
— tipicamente
para a direita,
apontando “para dentro/fora” do papel e
para cima.
;Desenhe a projeção no plano
: a reta
apenas para
. Marque
,
e
em posições apropriadas (use escalas diferentes em
se necessário).
;Sobre essa linha
, desenhe a parábola que sobe conforme
: perto da origem a parábola é “rasa”, depois sobe rápido.
;Indique uma seta seguindo o sentido de
crescente (saindo de
rumo a
,
, …).
;Se quiser, desenhe o plano
levemente sombreado para mostrar que a curva está contida ali.
Passo 8
Resumo didático curto (para lembrar na prova): ao ver
elimine
por
para obter
. Procure projeções nos planos coordenados e calcule
para saber a direção do movimento e a inclinação em cada ponto.
Resposta
A trajetória é a parábola contida no plano
:
Passa por
e a direção de movimento é dada por
para
.