Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=\left(t, t, t^{2}\right), t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula P cuja posição em função do tempo é dada por
\vec{f}(t)=\bigl(t,\;t,\;t^{2}\bigr),\qquad t\ge 0.
Informações dadas:
\;1.;A equação paramétrica da curva: x(t)=t,\;y(t)=t,\;z(t)=t^{2}.
\;2.;O parâmetro t varia apenas em [0,\infty) — portanto só a “parte positiva” da curva é considerada.
\;3.;O objetivo é produzir um esboço (ou descrição geométrica) da linha de movimento, indicando direção, pontos importantes e como desenhar.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para entender a forma geométrica da curva. Como x(t)=t\) e \(y(t)=t\), temos \[y=x.
Substituindo t=x em z(t)=t^{2} obtemos
z=x^{2}.
Portanto a curva satisfaz simultaneamente
\begin{cases} y=x,\\[4pt] z=x^{2}, \end{cases}
com x\ge 0\] (porque \(t\ge 0). Esta é a forma sem parâmetro, muito útil para visualizar.]

Passo 3

Interpretando as equações: a curva é uma parábola (porque z=x^{2}) que vive no plano inclinado definido por y=x. Outra forma de ver: é a interseção entre o plano
y=x
e o paraboloide (ou curva quadrática ao “longo” de x)
z=x^{2}.
Geometricamente, imagine o plano que corta o espaço na direção y=x; sobre esse plano há uma parábola que tem vértice na origem e abre para cima no eixo z.

Passo 4

Calcule alguns pontos para guiar o esboço (peguei os valores diretamente da função paramétrica):
\begin{aligned} t=0 &\Rightarrow \vec{f}(0)=(0,0,0),\\\ t=1 &\Rightarrow \vec{f}(1)=(1,1,1),\\\ t=2 &\Rightarrow \vec{f}(2)=(2,2,4),\\\ t=\tfrac{1}{2} &\Rightarrow \vec{f}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr). \end{aligned}
Use esses pontos no esboço: o vértice está em (0,0,0); para x maiores, z cresce como x^{2}, então a curva sobe cada vez mais rápido.

Passo 5

Projete a curva nos planos coordenados para facilitar o desenho:
\;1.;Projeção no plano xy: como y=x, a projeção é a reta \{(x,y):y=x,\;x\ge0\} — uma linha em 45° no plano xy.
\;2.;Projeção no plano xz: é a parábola z=x^{2} para x\ge0.
\;3.;Projeção no plano yz: como y=x, a projeção coincide com a do xz trocando x por y: z=y^{2}, y\ge0.
Desenhe primeiro a reta y=x no plano xy, depois sobre essa direção desenhe a parábola z=x^{2}.

Passo 6

Direção do movimento: calcule a derivada (vetor tangente)
\vec{f}\,'(t)=\bigl(1,\;1,\;2t\bigr).
Significado:
\;1.;A componente horizontal constante (1,1) mostra que, ao projetar no plano xy, a partícula se move sempre no sentido de x e y crescentes (na direção y=x).
\;2.;A componente vertical 2t indica que a inclinação em z aumenta com t: no início (tanto em t=0) a tangente é horizontal no eixo z porque \vec{f}\,'(0)=(1,1,0); para t>0 a componente em z fica positiva e cresce linearmente, fazendo a curva subir cada vez mais íngreme.

Passo 7

Passo-a-passo prático para esboçar na prova (faça isso sem calculadora):
\;1.;Trace os eixos x,y,z — tipicamente x para a direita, y apontando “para dentro/fora” do papel e z para cima.
\;2.;Desenhe a projeção no plano xy: a reta y=x apenas para x\ge0. Marque (0,0,0), (1,1,1) e (2,2,4) em posições apropriadas (use escalas diferentes em z se necessário).
\;3.;Sobre essa linha y=x, desenhe a parábola que sobe conforme z=x^{2}: perto da origem a parábola é “rasa”, depois sobe rápido.
\;4.;Indique uma seta seguindo o sentido de t crescente (saindo de (0,0,0) rumo a (1,1,1), (2,2,4), …).
\;5.;Se quiser, desenhe o plano y=x levemente sombreado para mostrar que a curva está contida ali.

Passo 8

Resumo didático curto (para lembrar na prova): ao ver \vec{f}(t)=(t,t,t^{2}) elimine t por x=t para obter y=x,\;z=x^{2}. Procure projeções nos planos coordenados e calcule \vec{f}\,'(t) para saber a direção do movimento e a inclinação em cada ponto.

Resposta

A trajetória é a parábola contida no plano y=x:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:y=x,\;z=x^{2},\;x\ge 0\}.
Passa por (0,0,0),\;(1,1,1),\;(2,2,4),\ldots e a direção de movimento é dada por \vec{f}\,'(t)=(1,1,2t) para t\ge 0.

Exercícios relacionados