Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a trajetória da partícula
cuja posição é dada por
Informações fornecidas:
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva descrita por
no plano e entender seu comportamento quando
varia em
.
Passo 2
Relacione a representação paramétrica com coordenadas polares. Em coordenadas polares
temos sempre
Comparando com
, note que a posição é exatamente a mesma forma com
e
dependentes de
. Vamos calcular
e
.
Passo 3
Cálculo do raio
. Pela definição de
usando
e
,
Factorizando
dentro da raiz,
Portanto
Passo 4
Cálculo do ângulo polar
. Para
onde
(aqui nunca é nulo porque
), o ângulo satisfaz
Como
, os fatores positivos se cancelam na razão, logo
Assim obtemos a relação simples entre
e
:
Passo 5
Interpretação geométrica da equação
. A curva dada por
(com
, aqui
) é um espiral logarítmico (ou espiral equiangular). Isto significa:
- À medida que
aumenta, cresce exponencialmente. - O ângulo entre o vetor radial e a tangente à curva é constante (característica do espiral logarítmico). Vamos mostrar isso rapidamente.
Passo 6
Derivada da posição e ângulo entre tangente e raio. Escrevendo
e derivando em relação a
:
Em base radial
e tangencial
isto é
O ângulo
entre a tangente e a direção radial satisfaz
No nosso caso
e
, logo
Conclusão: a tangente forma um ângulo de
(45°) com o raio vetor em todo ponto — é por isso que se chama espiral equiangular.
Passo 7
Sentido de giro e comportamento para
e
.
- Como
aumenta com , o movimento é no sentido anti-horário (sentido contrário aos ponteiros do relógio). - Em
temos
ou seja, a curva inicia em
.
- Para
temos , portanto a trajetória gira indefinidamente afastando-se do origem; cada volta completa (aumentando de ) multiplica por (crescimento muito rápido). Logo as voltas ficam cada vez mais espaçadas radialmente.
Passo 8
Pontos de amostra para ajudar o esboço (use estes para traçar alguns pontos e ligar formando o espiral):
Observe como os raios crescem muito entre
e
: já ficam grande, por isso a espiral abre-se rápido.
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
- Marque o ponto inicial
(quando ). - Marque um ponto aproximado na direção de
com distância cerca de (valor de ) para . - Marque o ponto em
com distância cerca de para . Você percebe que as voltas abrem muito. - Ligue suavemente os pontos com uma curva que gira anti-horário, lembrando que a tangente faz
com o raio em todo ponto (isso ajuda a dar a inclinação correta localmente). - Continue a curva para aumentar
até onde precisar; a cada volta completa o raio multiplica por (cresce muito).
Dica: por causa do crescimento exponencial, para um esboço numa folha pequena mostre apenas os primeiros
ou
de
; isso já revela claramente a forma em espiral.
Resposta
Trajetória: espiral logarítmica dada por
; inicia em
, gira no sentido anti-horário e afasta-se da origem (
quando
).
A tangente forma um ângulo constante com o vetor radial (espiral equiangular).
A tangente forma um ângulo constante