Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t\right), t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a trajetória da partícula P cuja posição é dada por
\vec{f}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr),\qquad t\ge 0.
Informações fornecidas:
x(t)=e^{t}\cos t,\qquad y(t)=e^{t}\sin t,\qquad t\ge 0.
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva descrita por \vec{f}(t) no plano e entender seu comportamento quando t varia em [0,\infty).

Passo 2

Relacione a representação paramétrica com coordenadas polares. Em coordenadas polares (r,\theta) temos sempre
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Comparando com \vec{f}(t), note que a posição é exatamente a mesma forma com r e \theta dependentes de t. Vamos calcular r(t) e \theta(t).

Passo 3

Cálculo do raio r(t). Pela definição de r usando x e y,
r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=\sqrt{\bigl(e^{t}\cos t\bigr)^2+\bigl(e^{t}\sin t\bigr)^2}.
Factorizando e^{2t} dentro da raiz,
r(t)=\sqrt{e^{2t}\bigl(\cos^2 t+\sin^2 t\bigr)}=\sqrt{e^{2t}\cdot 1}=e^{t}.
Portanto
r(t)=e^{t}.

Passo 4

Cálculo do ângulo polar \theta(t). Para t onde (x(t),y(t))\neq(0,0) (aqui nunca é nulo porque r(t)=e^t>0), o ângulo satisfaz
\theta(t)=\operatorname{atan2}\bigl(y(t),x(t)\bigr)=\operatorname{atan2}\bigl(e^{t}\sin t,\;e^{t}\cos t\bigr).
Como e^{t}>0, os fatores positivos se cancelam na razão, logo
\theta(t)=\operatorname{atan2}\bigl(\sin t,\cos t\bigr)=t\quad(\text{tomando a continuidade de }t\mapsto\theta).
Assim obtemos a relação simples entre r e \theta:
\boxed{r=e^{\theta}.}

Passo 5

Interpretação geométrica da equação r=e^{\theta}. A curva dada por r=a e^{b\theta} (com a>0, aqui a=1,b=1) é um espiral logarítmico (ou espiral equiangular). Isto significa:
  • À medida que \theta aumenta, r cresce exponencialmente.
  • O ângulo entre o vetor radial e a tangente à curva é constante (característica do espiral logarítmico). Vamos mostrar isso rapidamente.

Passo 6

Derivada da posição e ângulo entre tangente e raio. Escrevendo \vec{R}(\theta)=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta) e derivando em relação a \theta:
\frac{d\vec{R}}{d\theta}=r'(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)+r(\theta)(-\sin\theta,\cos\theta).
Em base radial e_r=(\cos\theta,\sin\theta) e tangencial e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta) isto é
\frac{d\vec{R}}{d\theta}=r'(\theta)e_r+r(\theta)e_\theta.
O ângulo \alpha entre a tangente e a direção radial satisfaz
\tan\alpha=\frac{\text{componente ao longo de }e_\theta}{\text{componente ao longo de }e_r}=\frac{r(\theta)}{r'(\theta)}.
No nosso caso r(\theta)=e^{\theta} e r'(\theta)=e^{\theta}, logo
\tan\alpha=\frac{e^{\theta}}{e^{\theta}}=1\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}.
Conclusão: a tangente forma um ângulo de \pi/4 (45°) com o raio vetor em todo ponto — é por isso que se chama espiral equiangular.

Passo 7

Sentido de giro e comportamento para t\to\infty e t=0.
  • Como \theta(t)=t aumenta com t, o movimento é no sentido anti-horário (sentido contrário aos ponteiros do relógio).
  • Em t=0 temos
\vec{f}(0)=\bigl(e^{0}\cos 0,\;e^{0}\sin 0\bigr)=(1,0),
ou seja, a curva inicia em (1,0).
  • Para t\to\infty temos r(t)=e^{t}\to\infty, portanto a trajetória gira indefinidamente afastando-se do origem; cada volta completa (aumentando \theta de 2\pi) multiplica r por e^{2\pi} (crescimento muito rápido). Logo as voltas ficam cada vez mais espaçadas radialmente.

Passo 8

Pontos de amostra para ajudar o esboço (use estes para traçar alguns pontos e ligar formando o espiral):
\begin{aligned} t&=0:\quad \vec{f}(0)=(1,0).\\\ t&=\tfrac{\pi}{2}:\quad \vec{f}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(0,\;e^{\pi/2}\bigr)\quad\text{(ponto no eixo \(y\) positivo; }e^{\pi/2}\approx 4,81\text{).}\\ t&=\pi:\quad \vec{f}(\pi)=\bigl(-e^{\pi},\;0\bigr)\quad\text{(ponto no eixo \(x\) negativo; }e^{\pi}\approx 23,14\text{).}\\ t&=\tfrac{3\pi}{2}:\quad \vec{f}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\bigl(0,\;-e^{3\pi/2}\bigr)\quad\text{(e assim por diante).} \end{aligned}
Observe como os raios crescem muito entre \tfrac{\pi}{2} e \pi: já ficam grande, por isso a espiral abre-se rápido.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Marque o ponto inicial (1,0) (quando t=0).
  2. Marque um ponto aproximado na direção de 90^\circ com distância cerca de 4,8 (valor de e^{\pi/2}) para t=\tfrac{\pi}{2}.
  3. Marque o ponto em 180^\circ com distância cerca de 23 para t=\pi. Você percebe que as voltas abrem muito.
  4. Ligue suavemente os pontos com uma curva que gira anti-horário, lembrando que a tangente faz 45^\circ com o raio em todo ponto (isso ajuda a dar a inclinação correta localmente).
  5. Continue a curva para aumentar \theta até onde precisar; a cada volta completa o raio multiplica por e^{2\pi} (cresce muito).
Dica: por causa do crescimento exponencial, para um esboço numa folha pequena mostre apenas os primeiros \tfrac{\pi}{2} ou \pi de \theta; isso já revela claramente a forma em espiral.

Resposta

Trajetória: espiral logarítmica dada por r=e^{\theta}; inicia em (1,0), gira no sentido anti-horário e afasta-se da origem ( r\to\infty quando t\to\infty ).
A tangente forma um ângulo constante \alpha=\tfrac{\pi}{4} com o vetor radial (espiral equiangular).

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