Esboce cada curva abaixo, indicando sua orientação
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é esboçar cada uma das curvas listadas, indicando a direção em que elas são traçadas. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas, entendendo como as variáveis se comportam conforme o parâmetro $ t $ varia no intervalo dado. Vamos precisar analisar as equações paramétricas, identificar pontos-chave e entender como a curva se movimenta conforme $ t $ muda.
Passo 2
(a)
, onde $ 0 \leq t \leq 1 $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = 1 - t $
- Intervalo de $ t $: de 0 a 1
Passo 3
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
- Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
-
Comportamento da curva:
- Conforme $ t $ aumenta de 0 a 1, $ x $ aumenta de 0 a 1 e $ y $ diminui de 1 a 0.
- Isso significa que a curva vai do ponto $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $ em linha reta.
-
Orientação:
- A curva começa em $ (0, 1) $ e vai para $ (1, 0) $.
Esboço:
- Uma linha reta inclinada de cima para baixo, da esquerda para a direita.
Passo 4
(b)
, onde $ -1 \leq t \leq 0 $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = 2t $, $ y = t^{2} $
- Intervalo de $ t $: de -1 a 0
Passo 5
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = -1 $: $ (x, y) = (-2, 1) $
- Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 0) $
-
Comportamento da curva:
- $ y = t^{2} $ é uma parábola que sempre dá valores positivos ou zero.
- Como $ x = 2t $ varia de -2 a 0, a curva está no lado esquerdo do eixo y.
-
Orientação:
- Conforme $ t $ aumenta de -1 a 0, $ x $ aumenta de -2 a 0 e $ y $ diminui de 1 a 0.
Esboço:
- Uma parte da parábola $ y = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} $ no lado esquerdo do eixo y, indo de cima para baixo da esquerda para a direita.
Passo 6
©
, onde $ 1 \leq t < \infty $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = \frac{1}{t} $, $ y = t $
- Intervalo de $ t $: de 1 a infinito
Passo 7
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 1) $
- Conforme $ t $ aumenta, $ x $ tende a 0 e $ y $ tende a infinito.
-
Comportamento da curva:
- A curva representa uma hipérbole no primeiro quadrante.
- À medida que $ t $ aumenta, a curva se aproxima do eixo y sem nunca tocá-lo.
-
Orientação:
- A curva começa em $ (1, 1) $ e se move para cima e para a esquerda, aproximando-se do eixo y.
Esboço:
- Uma hipérbole no primeiro quadrante, iniciando em $ (1, 1) $ e se dirigindo para cima enquanto se aproxima do eixo y.
Passo 8
(d)
, onde $ 0 \leq t \leq 1 $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = \sqrt{1 - t^{2}} $
- Intervalo de $ t $: de 0 a 1
Passo 9
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
- Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
-
Comportamento da curva:
- A equação $ y = \sqrt{1 - t^{2}} $ representa a parte superior de um círculo unitário.
- A curva percorre o primeiro quarto do círculo, do ponto superior ao ponto da direita.
-
Orientação:
- A curva começa em $ (0, 1) $ e se move para $ (1, 0) $, descendo ao longo do arco do círculo.
Esboço:
- Um arco de círculo no primeiro quadrante, indo de cima para a direita.
Passo 10
(e)
, onde $ 1 \leq t \leq e $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = \ln t $
- Intervalo de $ t $: de 1 a $ e $ (onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais)
Passo 11
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
- Quando $ t = e $: $ (x, y) = (e, 1) $
-
Comportamento da curva:
- A função $ y = \ln t $ é crescente; à medida que $ t $ aumenta, $ y $ também aumenta.
- A curva será uma parte da função logarítmica, indo de $ (1, 0) $ para $ (e, 1) $.
-
Orientação:
- A curva começa em $ (1, 0) $ e sobe para $ (e, 1) $, da esquerda para a direita.
Esboço:
- Uma parte da curva logarítmica, começando no ponto $ (1, 0) $ e subindo até $ (e, 1) $.
Passo 12
(f)
, onde $ 0 \leq t \leq 1 $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = 1 - t $
- Intervalo de $ t $: de 0 a 1
Passo 13
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
- Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
-
Comportamento da curva:
- Assim como o item (a), essa é uma linha reta.
- A curva vai do ponto $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $.
-
Orientação:
- A direção é da esquerda para a direita, de cima para baixo.
Esboço:
- Uma linha reta inclinada igual à do item (a), indo de $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $.
Passo 14
(g)
, onde $ 0 \leq t \leq 2\pi $
Análise:
- Equações Paramétricas: $ x = \cos t $, $ y = \sin t $, $ z = t $
- Intervalo de $ t $: de 0 a $ 2\pi $
Passo 15
-
Identificar pontos-chave:
- Quando $ t = 0 $: $ (x, y, z) = (1, 0, 0) $
- Quando $ t = \pi/2 $: $ (0, 1, \pi/2) $
- Quando $ t = \pi $: $ (-1, 0, \pi) $
- Quando $ t = 3\pi/2 $: $ (0, -1, 3\pi/2) $
- Quando $ t = 2\pi $: $ (1, 0, 2\pi) $
-
Comportamento da curva:
- As componentes $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ descrevem um círculo no plano xy.
- A componente $ z = t $ aumenta linearmente, fazendo a curva subir enquanto dá voltas ao redor do círculo.
- Isso resulta em uma hélice.
-
Orientação:
- A hélice começa no ponto $ (1, 0, 0) $ e sobe girando no sentido anti-horário enquanto $ t $ aumenta até $ 2\pi $.
Esboço:
- Uma hélice completa dando uma volta ao redor do eixo z, começando em $ (1, 0, 0) $ e terminando em $ (1, 0, 2\pi) $.
Resposta
Esboçamos todas as curvas conforme descrito acima, indicando suas orientações específicas:
- (a) e (f): Linha reta de $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $, da esquerda para a direita.
- (b): Parte da parábola no lado esquerdo, de $ (-2, 1) $ a $ (0, 0) $, descendo para a direita.
- ©: Hipérbole no primeiro quadrante, iniciando em $ (1, 1) $ e se aproximando do eixo y para cima.
- (d): Arco de círculo no primeiro quadrante, de $ (0, 1) $ a $ (1, 0) $, descendo para a direita.
- (e): Parte da curva logarítmica, de $ (1, 0) $ a $ (e, 1) $, subindo para a direita.
- (g): Hélice que dá uma volta completa ao redor do eixo z, de $ (1, 0, 0) $ a $ (1, 0, 2\pi) $, subindo no sentido anti-horário.