Esboce cada curva abaixo, indicando sua orientação
(a) gamma(t)=(t, 1-t) ; 0 <= t <= 1
(b) gamma(t)=(2 t, t^2),-1 <= t <= 0
© gamma(t)=(1 / t, t), 1 <= t
(d) gamma(t)=(t, raiz1-t^2), 0 <= t <= 1
(e) gamma(t)=(t, ln t), 1 <= t <= e
(f) gamma(t)=(t, 1-t), 0 <= t <= 1
(g) gamma(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é esboçar cada uma das curvas listadas, indicando a direção em que elas são traçadas. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas, entendendo como as variáveis se comportam conforme o parâmetro $ t $ varia no intervalo dado. Vamos precisar analisar as equações paramétricas, identificar pontos-chave e entender como a curva se movimenta conforme $ t $ muda.

Passo 2

(a) gamma(t) = (t, 1 - t), onde $ 0 \leq t \leq 1 $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = 1 - t $
  • Intervalo de $ t $: de 0 a 1

Passo 3

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
    • Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
  2. Comportamento da curva:
    • Conforme $ t $ aumenta de 0 a 1, $ x $ aumenta de 0 a 1 e $ y $ diminui de 1 a 0.
    • Isso significa que a curva vai do ponto $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $ em linha reta.
  3. Orientação:
    • A curva começa em $ (0, 1) $ e vai para $ (1, 0) $.

Esboço:

  • Uma linha reta inclinada de cima para baixo, da esquerda para a direita.

Passo 4

(b) gamma(t) = (2t, t^2), onde $ -1 \leq t \leq 0 $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = 2t $, $ y = t^{2} $
  • Intervalo de $ t $: de -1 a 0

Passo 5

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = -1 $: $ (x, y) = (-2, 1) $
    • Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 0) $
  2. Comportamento da curva:
    • $ y = t^{2} $ é uma parábola que sempre dá valores positivos ou zero.
    • Como $ x = 2t $ varia de -2 a 0, a curva está no lado esquerdo do eixo y.
  3. Orientação:
    • Conforme $ t $ aumenta de -1 a 0, $ x $ aumenta de -2 a 0 e $ y $ diminui de 1 a 0.

Esboço:

  • Uma parte da parábola $ y = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} $ no lado esquerdo do eixo y, indo de cima para baixo da esquerda para a direita.

Passo 6

© gamma(t) = (1t, t), onde $ 1 \leq t < \infty $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = \frac{1}{t} $, $ y = t $
  • Intervalo de $ t $: de 1 a infinito

Passo 7

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 1) $
    • Conforme $ t $ aumenta, $ x $ tende a 0 e $ y $ tende a infinito.
  2. Comportamento da curva:
    • A curva representa uma hipérbole no primeiro quadrante.
    • À medida que $ t $ aumenta, a curva se aproxima do eixo y sem nunca tocá-lo.
  3. Orientação:
    • A curva começa em $ (1, 1) $ e se move para cima e para a esquerda, aproximando-se do eixo y.

Esboço:

  • Uma hipérbole no primeiro quadrante, iniciando em $ (1, 1) $ e se dirigindo para cima enquanto se aproxima do eixo y.

Passo 8

(d) gamma(t) = (t, raiz1 - t^2), onde $ 0 \leq t \leq 1 $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = \sqrt{1 - t^{2}} $
  • Intervalo de $ t $: de 0 a 1

Passo 9

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
    • Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
  2. Comportamento da curva:
    • A equação $ y = \sqrt{1 - t^{2}} $ representa a parte superior de um círculo unitário.
    • A curva percorre o primeiro quarto do círculo, do ponto superior ao ponto da direita.
  3. Orientação:
    • A curva começa em $ (0, 1) $ e se move para $ (1, 0) $, descendo ao longo do arco do círculo.

Esboço:

  • Um arco de círculo no primeiro quadrante, indo de cima para a direita.

Passo 10

(e) gamma(t) = (t, ln t), onde $ 1 \leq t \leq e $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = \ln t $
  • Intervalo de $ t $: de 1 a $ e $ (onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais)

Passo 11

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
    • Quando $ t = e $: $ (x, y) = (e, 1) $
  2. Comportamento da curva:
    • A função $ y = \ln t $ é crescente; à medida que $ t $ aumenta, $ y $ também aumenta.
    • A curva será uma parte da função logarítmica, indo de $ (1, 0) $ para $ (e, 1) $.
  3. Orientação:
    • A curva começa em $ (1, 0) $ e sobe para $ (e, 1) $, da esquerda para a direita.

Esboço:

  • Uma parte da curva logarítmica, começando no ponto $ (1, 0) $ e subindo até $ (e, 1) $.

Passo 12

(f) gamma(t) = (t, 1 - t), onde $ 0 \leq t \leq 1 $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = t $, $ y = 1 - t $
  • Intervalo de $ t $: de 0 a 1

Passo 13

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 0 $: $ (x, y) = (0, 1) $
    • Quando $ t = 1 $: $ (x, y) = (1, 0) $
  2. Comportamento da curva:
    • Assim como o item (a), essa é uma linha reta.
    • A curva vai do ponto $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $.
  3. Orientação:
    • A direção é da esquerda para a direita, de cima para baixo.

Esboço:

  • Uma linha reta inclinada igual à do item (a), indo de $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $.

Passo 14

(g) gamma(t) = (cos t, sin t, t), onde $ 0 \leq t \leq 2\pi $

Análise:

  • Equações Paramétricas: $ x = \cos t $, $ y = \sin t $, $ z = t $
  • Intervalo de $ t $: de 0 a $ 2\pi $

Passo 15

  1. Identificar pontos-chave:
    • Quando $ t = 0 $: $ (x, y, z) = (1, 0, 0) $
    • Quando $ t = \pi/2 $: $ (0, 1, \pi/2) $
    • Quando $ t = \pi $: $ (-1, 0, \pi) $
    • Quando $ t = 3\pi/2 $: $ (0, -1, 3\pi/2) $
    • Quando $ t = 2\pi $: $ (1, 0, 2\pi) $
  2. Comportamento da curva:
    • As componentes $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ descrevem um círculo no plano xy.
    • A componente $ z = t $ aumenta linearmente, fazendo a curva subir enquanto dá voltas ao redor do círculo.
    • Isso resulta em uma hélice.
  3. Orientação:
    • A hélice começa no ponto $ (1, 0, 0) $ e sobe girando no sentido anti-horário enquanto $ t $ aumenta até $ 2\pi $.

Esboço:

  • Uma hélice completa dando uma volta ao redor do eixo z, começando em $ (1, 0, 0) $ e terminando em $ (1, 0, 2\pi) $.

Resposta

Esboçamos todas as curvas conforme descrito acima, indicando suas orientações específicas:
  • (a) e (f): Linha reta de $ (0, 1) $ para $ (1, 0) $, da esquerda para a direita.
  • (b): Parte da parábola no lado esquerdo, de $ (-2, 1) $ a $ (0, 0) $, descendo para a direita.
  • ©: Hipérbole no primeiro quadrante, iniciando em $ (1, 1) $ e se aproximando do eixo y para cima.
  • (d): Arco de círculo no primeiro quadrante, de $ (0, 1) $ a $ (1, 0) $, descendo para a direita.
  • (e): Parte da curva logarítmica, de $ (1, 0) $ a $ (e, 1) $, subindo para a direita.
  • (g): Hélice que dá uma volta completa ao redor do eixo z, de $ (1, 0, 0) $ a $ (1, 0, 2\pi) $, subindo no sentido anti-horário.

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