Verifique se o campo vetorial F é conservativo. No caso afirmativo, determine um potencial:
(a) F=(2 x e^y+y) i+(x^2 e^y+x-2 y) j
(b) F=(y^2-3 x) i+(2 x y+cos y) j
© F=(1 / x) i+x exp (x y) j
(d) F=sen(x y) i+cos (x y) j
(e) F=3 x^4 y^2 i+x^3 y j
(f) F=2 x i+3 y j+4 z k
(g) F=y sen z i+x sen z j+x y cos z k

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: Temos o campo vetorial F = (2x e^y + y) i + (x^2 e^y + x - 2y) j e queremos verificar se ele é conservativo. Se for, também vamos encontrar uma função potencial que gera esse campo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Para um campo vetorial bidimensional F = P i + Q j ser conservativo, é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Aqui, temos:
P = 2x e^y + y e Q = x^2 e^y + x - 2y
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2x e^y + 1
partial Ppartial y = 2x e^y + 1
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, a condição necessária para que o campo seja conservativo é satisfeita.

Passo 3

Como o campo vetorial é conservativo, podemos encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = (partial phipartial x) i + (partial phipartial y) j
Isso significa que:
partial phipartial x = P = 2x e^y + y
Vamos integrar P em relação a x para encontrar phi(x, y):
phi(x, y) = integral (2x e^y + y) , dx = x^2 e^y + yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y e surge da integração.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de phi(x, y) em relação a y e igualar a Q para determinar a função h(y):
partial phipartial y = x^2 e^y + x + dhdy
Igualando a Q:
x^2 e^y + x + dhdy = x^2 e^y + x - 2y
Isso simplifica para:
dhdy = -2y
Integrando ambos os lados em relação a y:
h(y) = -y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial é dada por:
phi(x, y) = x^2 e^y + x y - y^2 + C
onde C é uma constante.

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