Verifique se o campo vetorial
é conservativo. No caso afirmativo, determine um potencial:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: Temos o campo vetorial
e queremos verificar se ele é conservativo. Se for, também vamos encontrar uma função potencial que gera esse campo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para um campo vetorial bidimensional
ser conservativo, é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a condição necessária para que o campo seja conservativo é satisfeita.
Passo 3
Como o campo vetorial é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e surge da integração.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a
para determinar a função
:
Igualando a
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial é dada por:
onde
é uma constante.