Resolva o PVI:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (6+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial ,(y’=e^{-y},t,;y(0)=\ln(6+1)), que é uma equação diferencial de primeira ordem solvível por separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos dydt=t,e^-y e separamos as variáveis de modo que todos os termos em y fiquem num lado e os termos em t no outro:
e^y,dy = t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^y,dy = integral t,dt

Passo 4

O que dá, após a integração:
e^y = t^22 + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=ln(7). Como e^y(0)=e^ln(7)=7, concluímos que C=7.

Passo 6

Substituindo C na solução geral e isolando y, obtemos:
e^y = t^22 + 7
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y = lnl(7 + t^22r)

Resposta

y(t)=lnl(7+tfract^22r)

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