Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral (e a solução particular se houvesse um PVI — aqui não foi dada condição inicial).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita como forma diferencial
. - Aparece o termo
, logo é necessário ter no domínio considerado. - Queremos a solução geral; se houvesse
usaríamos essa condição para determinar a constante de integração.
Passo 2
Reescrevo a equação como um 1-forma diferencial multiplicando por
:
Identifico
Passo 3
Verifico se a forma é exata (condição para existir uma função potencial
tal que
e
). Calculo as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata.
Passo 4
Procuro uma função potencial
tal que
. Integro
em relação a
:
onde
é uma função de
(constante de integração relativa a
).
Passo 5
Agora imponho
. Primeiro calculo
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
obtenho
Daí
Integro
em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 6
Substituo
em
. A função potencial (ignorando a constante absoluta que será absorvida) é
Como a equação diferencial é
, a solução implícita geral é
isto é
onde
é constante arbitrária. Observação: o domínio exige
e uso do valor absoluto no logaritmo.
Passo 7
Discussão prática sobre formas explícitas e PVI:
- Esta expressão é a solução geral implícita. Para obter
em função de basta isolar :
- Isolar
explicitamente em função de normalmente exige funções especiais (Lambert ), então em provas a forma implícita costuma ser aceita. - Se uma condição inicial
for dada, determina-se a constante por