Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
e^{2 y}+\left(2 x e^{2 y}-\frac{1}{y}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{2y}+\left(2x e^{2y}-\frac{1}{y}\right)y'=0,
e pede a solução geral (e a solução particular se houvesse um PVI — aqui não foi dada condição inicial).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita como forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Aparece o termo \dfrac{1}{y}, logo é necessário ter y\neq0 no domínio considerado.
  • Queremos a solução geral; se houvesse y(x_0)=y_0 usaríamos essa condição para determinar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevo a equação como um 1-forma diferencial multiplicando por dx:
e^{2y}\,dx+\left(2x e^{2y}-\frac{1}{y}\right)\,dy=0.
Identifico
M(x,y)=e^{2y},\qquad N(x,y)=2x e^{2y}-\frac{1}{y}.

Passo 3

Verifico se a forma é exata (condição para existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N). Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{2y}=2e^{2y},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x e^{2y}-\frac{1}{y}\right)=2e^{2y}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma é exata.

Passo 4

Procuro uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M=e^{2y}. Integro M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int e^{2y}\,dx = x e^{2y}+h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante de integração relativa a x).

Passo 5

Agora imponho \Phi_y=N. Primeiro calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{2y}+h(y)\big)=2x e^{2y}+h'(y).
Igualando a N obtenho
2x e^{2y}+h'(y)=2x e^{2y}-\frac{1}{y}.
Daí
h'(y)=-\frac{1}{y}.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int -\frac{1}{y}\,dy=-\ln|y|+C_0,
onde C_0 é uma constante.

Passo 6

Substituo h(y) em \Phi. A função potencial (ignorando a constante absoluta que será absorvida) é
\Phi(x,y)=x e^{2y}-\ln|y|.
Como a equação diferencial é \Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy=0, a solução implícita geral é
\Phi(x,y)=C,
isto é
x e^{2y}-\ln|y|=C,
onde C é constante arbitrária. Observação: o domínio exige y\neq0 e uso do valor absoluto no logaritmo.

Passo 7

Discussão prática sobre formas explícitas e PVI:
  • Esta expressão é a solução geral implícita. Para obter x em função de y basta isolar x:
x=(C+\ln|y|)\,e^{-2y}.
  • Isolar y explicitamente em função de x normalmente exige funções especiais (Lambert W), então em provas a forma implícita x e^{2y}-\ln|y|=C costuma ser aceita.
  • Se uma condição inicial y(x_0)=y_0 for dada, determina-se a constante por
C=x_0 e^{2y_0}-\ln|y_0|.

Resposta

x e^{2y}-\ln|y|=C

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