Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede que se determine a solução geral e, quando houver condições iniciais (PVI), a solução particular.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve a derivada
e a função . - O termo não-homogêneo é
. - Não foi dada nenhuma condição inicial específica (logo só é exigida a solução geral, mas indicarei como obter a solução particular caso surja uma condição
).
Passo 2
Vamos primeiro colocar a equação na forma padrão de uma linear de 1ª ordem, isto é
. Subtraindo
dos dois lados:
Aqui temos
A partir daqui aplicamos o método do fator integrante (integrating factor), que é uma técnica direta para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
Breve explicação do método do fator integrante (sem pular etapas):
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
obtém-se
- O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
- Assim a equação vira
o que permite integrar ambos os lados para achar
e daí
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso com
:
Multiplicando a equação padronizada por
:
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
, logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
multiplicando por
:
Portanto a solução geral é
Passo 6
Verificação alternativa (método dos coeficientes indeterminados), útil como cheque rápido:
- Proponha uma solução particular da forma
, porque o termo não-homogêneo é combinação de e constante. - Calcule
. Substituindo em :
- Agrupando termos em
e constantes:
- Igualando coeficientes:
- Assim
. A solução geral é soma da homogênea com a particular: com , logo
coincidindo com o resultado do fator integrante.
Passo 7
Como usar a solução geral para um PVI (caso apareça): se for dada uma condição
, basta substituir na solução geral e resolver para
:
Substituindo esse
obtém-se a solução particular que satisfaz o PVI.