Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
y^{\prime}=e^{2 x}+y-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = e^{2x} + y - 1,
e pede que se determine a solução geral e, quando houver condições iniciais (PVI), a solução particular.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve a derivada y' e a função y.
  • O termo não-homogêneo é e^{2x}-1.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial específica (logo só é exigida a solução geral, mas indicarei como obter a solução particular caso surja uma condição y(x_0)=y_0).

Passo 2

Vamos primeiro colocar a equação na forma padrão de uma linear de 1ª ordem, isto é y'+p(x)y=q(x). Subtraindo y dos dois lados:
y' - y = e^{2x} - 1.
Aqui temos
p(x) = -1,\qquad q(x)=e^{2x}-1.
A partir daqui aplicamos o método do fator integrante (integrating factor), que é uma técnica direta para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

Breve explicação do método do fator integrante (sem pular etapas):
  • Para uma equação da forma \,y'+p(x)y=q(x)\,, define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se
\mu y' + \mu p y = \mu q.
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (\mu y), pois
(\mu y)' = \mu' y + \mu y' = (\mu p) y + \mu y' \quad\text{quando}\quad \mu'=\mu p.
  • Assim a equação vira
(\mu y)' = \mu q,
o que permite integrar ambos os lados para achar \mu y e daí y.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso com p(x)=-1:
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação padronizada por e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}(e^{2x}-1)=e^{x}-e^{-x}.
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y, logo
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = e^{x}-e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = \int e^{x}\,dx - \int e^{-x}\,dx = e^{x} + e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y multiplicando por e^{x}:
y = e^{x}\bigl(e^{x} + e^{-x} + C\bigr) = e^{2x} + 1 + C e^{x}.
Portanto a solução geral é
y(x)=e^{2x}+C e^{x}+1,\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação alternativa (método dos coeficientes indeterminados), útil como cheque rápido:
  • Proponha uma solução particular da forma \,y_p(x)=A e^{2x}+B, porque o termo não-homogêneo é combinação de e^{2x} e constante.
  • Calcule y_p' = 2A e^{2x}. Substituindo em y' = e^{2x}+y-1:
2A e^{2x} = e^{2x} + (A e^{2x}+B) - 1.
  • Agrupando termos em e^{2x} e constantes:
2A e^{2x} = (1+A)e^{2x} + (B-1).
  • Igualando coeficientes:
2A = 1+A \implies A=1,
B-1=0 \implies B=1.
  • Assim y_p=e^{2x}+1. A solução geral é soma da homogênea com a particular: y=y_h+y_p com y_h=C e^{x}, logo
y=e^{2x}+1+C e^{x},
coincidindo com o resultado do fator integrante.

Passo 7

Como usar a solução geral para um PVI (caso apareça): se for dada uma condição y(x_0)=y_0, basta substituir na solução geral e resolver para C:
y_0 = e^{2x_0}+1 + C e^{x_0}\quad\Rightarrow\quad C = e^{-x_0}\bigl(y_0 - e^{2x_0}-1\bigr).
Substituindo esse C obtém-se a solução particular que satisfaz o PVI.

Resposta

y(x)=e^{2x}+C e^{x}+1

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