Esboce o conjunto A dado e, em seguida, calcule a área de A.
A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=-1, x=3, pelo eixo O x e pelo gráfico de y=x^{3};

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área do conjunto A limitado pelas retas x=-1, x=3, pelo eixo O x e pelo gráfico de y=x^{3}. Vamos usar definição de área como integral definida, lembrando que, quando a curva estiver abaixo do eixo, tomamos o valor absoluto da função.

Passo 2

O gráfico de y=x^{3} cruza o eixo em x=0. Para x\in[-1,0] temos x^{3}\le0 (ramo abaixo do eixo) e para x\in[0,3] temos x^{3}\ge0 (ramo acima do eixo). Assim, o domínio em x fica dividido em dois subintervalos: [-1,0] e [0,3].

Passo 3

A área de A é a soma das áreas entre a curva e o eixo em cada subintervalo, isto é
\int_{-1}^{0}\bigl(0 - x^{3}\bigr)\,dx + \int_{0}^{3}\bigl(x^{3} - 0\bigr)\,dx

Passo 4

Calculando cada parte temos
\int_{-1}^{0}-x^{3}\,dx = -\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-1}^{0} = -\bigl(0 - \tfrac{1}{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}
\int_{0}^{3}x^{3}\,dx = \Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{3} = \frac{81}{4}
Somando as duas contribuições,
\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}

Resposta

A área de A é \frac{41}{2}.

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