Esboce os conjuntos de nível de cada função. f(x, y) = y^3 - 2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar os conjuntos de nível de uma função. A função dada é . O conceito de conjuntos de nível está relacionado a encontrar todas as combinações de e que fazem a função assumir um valor constante. Pra resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação da função para diferentes valores constantes e visualizar como esses conjuntos se comportam no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis, , um conjunto de nível é o conjunto de todos os pontos que satisfazem , onde é uma constante. Isso significa que estamos procurando desenhar curvas no plano que representem todos os pontos onde a função tem o mesmo valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função: . Queremos encontrar todas as soluções para , onde é uma constante. Vamos rearranjar essa equação para facilitar o desenho dos conjuntos de nível:
Então, para cada valor de , temos uma função que relaciona e .

Passo 4

Agora, vamos pensar em como essa equação se comporta para diferentes valores de :
  1. Quando :
    Isso é uma curva cúbica que passa pela origem e tem comportamento simétrico em relação ao eixo .
  2. Quando :
    Isso desloca a curva para a esquerda no plano , já que subtraímos um valor positivo de .
  3. Quando :
    Aqui, a curva se desloca para a direita, já que subtrair um valor negativo é equivalente a somar.

Passo 5

Para esboçar os conjuntos de nível, vamos considerar alguns valores específicos de :
  • : A curva passa pela origem.
  • : A curva será , deslocada para a esquerda.
  • : A curva será , deslocada para a direita.
Cada uma dessas curvas terá a forma de uma cúbica, mas com diferentes posições no plano. Isso nos ajuda a visualizar como os conjuntos de nível variam conforme o valor de .

Resposta

Os conjuntos de nível da função são curvas cúbicas da forma para diferentes valores de . Essas curvas se deslocam para a esquerda quando aumenta e para a direita quando diminui, mantendo a forma característica de uma cúbica no plano .

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