Determine se a função
é contínua na origem para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida de dois jeitos:
- Para qualquer ponto
que não seja a origem , a função é dada por . - Na origem
, a função assume o valor .
O objetivo é descobrir se essa função é contínua na origem para algum valor específico de
. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Se o limite existir e for igual a
, então a função será contínua na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Simplificar essa expressão pode ajudar. Observando o numerador:
E o denominador:
Então, podemos reescrever a função para
como:
Passo 3
Agora, para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, com
. Substituindo na função:
Simplificando:
Como
, o termo
tende a zero, então:
Porque
.
Passo 4
Então, o limite de
quando
é
. Para que a função seja contínua na origem, o valor da função na origem deve ser igual a esse limite. Portanto, devemos escolher
.
Além disso, para garantir a continuidade, podemos relacionar
e
da seguinte forma: Dado
, escolhemos
tal que se
, então
.
Resposta
A função
é contínua na origem se e somente se
. Assim, escolhendo
e estabelecendo uma relação adequada entre
e
, garantimos a continuidade da função na origem.