Determine se a função f(x, y)=llx^2+3 x^2 y+y^22 x^2+2 y^2, & se (x, y) neq(0,0) b, & se (x, y)=(0,0) é contínua na origem para algum valor de b in R. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre varepsilon e de, se for o caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f(x, y) definida de dois jeitos:
  • Para qualquer ponto (x, y) que não seja a origem (0,0), a função é dada por x^2+3 x^2 y+y^22 x^2+2 y^2.
  • Na origem (0,0), a função assume o valor b.
O objetivo é descobrir se essa função é contínua na origem para algum valor específico de b. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0). Se o limite existir e for igual a b, então a função será contínua na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Simplificar essa expressão pode ajudar. Observando o numerador:
x^2 + 3x^2y + y^2 = x^2(1 + 3y) + y^2
E o denominador:
2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)
Então, podemos reescrever a função para (x, y) neq (0,0) como:
f(x, y) = x^2(1 + 3y) + y^22(x^2 + y^2)

Passo 3

Agora, para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, com r to 0. Substituindo na função:
f(r, theta) = r^2cos^2theta(1 + 3rsintheta) + r^2sin^2theta2r^2
Simplificando:
f(r, theta) = r^2cos^2theta + 3r^3cos^2thetasintheta + r^2sin^2theta2r^2 = cos^2theta + sin^2theta + 3rcos^2thetasintheta2
Como r to 0, o termo 3rcos^2thetasintheta tende a zero, então:
limr to 0 f(r, theta) = cos^2theta + sin^2theta2 = 12
Porque cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 4

Então, o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0) é 12. Para que a função seja contínua na origem, o valor da função na origem deve ser igual a esse limite. Portanto, devemos escolher b = 12.
Além disso, para garantir a continuidade, podemos relacionar varepsilon e de da seguinte forma: Dado varepsilon > 0, escolhemos de 0 tal que se raizx^2 + y^2 < de, então |f(x, y) - 12| < varepsilon.

Resposta

A função f(x, y) é contínua na origem se e somente se b = 12. Assim, escolhendo b = 12 e estabelecendo uma relação adequada entre varepsilon e de, garantimos a continuidade da função na origem.

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