Esboce a curva em coordenadas polares:
r=3(1+\operatorname{sen} \theta)

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos a curva em coordenadas polares
r = 3\bigl(1 + \sin\theta\bigr).
O tema é o estudo de curvas polares, usando análise de pontos notáveis e simetria para construir o gráfico.

Passo 2

O parâmetro varia em \theta\in[0,2\pi]. Note que
\min_{\theta}r=3(1-1)=0\quad\text{em }\theta=\tfrac{3\pi}{2}, \qquad \max_{\theta}r=3(1+1)=6\quad\text{em }\theta=\tfrac{\pi}{2}.
Como \sin(\pi-\theta)=\sin\theta, a curva satisfaz
r(\,\pi-\theta)=r(\theta),
ou seja, é simétrica em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo vertical).

Passo 3

Vamos calcular r em ângulos-chave:
Para \theta=0
r=3(1+0)=3;
para \theta=\tfrac{\pi}{2}
r=3(1+1)=6;
para \theta=\pi
r=3(1+0)=3;
para \theta=\tfrac{3\pi}{2}
r=3(1-1)=0;
para \theta=2\pi
r=3(1+0)=3.

Passo 4

No sistema polar, plotamos sucessivamente:
(r,\theta)=(3,0) no ponto (3,0) em retas polares;
(6,\tfrac{\pi}{2}) em (0,6);
(3,\pi) em (-3,0);
(0,\tfrac{3\pi}{2}) na origem;
– e volta a (3,2\pi).
Entre esses pontos, r cresce de 3 a 6 em [0,\tfrac{\pi}{2}], decresce a 3 em [\tfrac{\pi}{2},\pi], decresce a 0 em [\pi,\tfrac{3\pi}{2}] e retorna a 3 em [\tfrac{3\pi}{2},2\pi]. Conecte-os suavemente.

Passo 5

O esboço resultante é um cardioide com cuspide (pontinha) na origem para \theta=\tfrac{3\pi}{2}, máximo em (0,6) e interceptos em (3,0) e (-3,0), simétrico em relação ao eixo vertical \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

A curva é um cardioide em coordenadas polares, de equação r=3(1+\sin\theta), com cuspide na origem, altura máxima 6 em (0,6), interceptos em (3,0) e (-3,0), e simetria no eixo vertical.

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