Esboce a curva em coordenadas polares:
r=-4 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = -4 \operatorname{sen} \theta
Aqui o conteúdo é coordenadas polares e a técnica é converter para coordenadas cartesianas usando
r^2 = x^2 + y^2,\quad r\operatorname{sen}\theta = y.

Passo 2

Multiplicamos a equação polar por r para usar as relações cartesianas:
r^2 = -4\,r\operatorname{sen}\theta
Substituindo r^2 = x^2 + y^2 e r\operatorname{sen}\theta = y, obtemos
x^2 + y^2 = -4y.

Passo 3

Reescrevemos a equação completando o quadrado em y:
x^2 + y^2 + 4y = 0
x^2 + (y+2)^2 -4 = 0
Logo,
x^2 + (y+2)^2 = 4,
que é a equação de um círculo de centro (0,-2) e raio 2.

Passo 4

Para entender como ele é percorrido em polares, notamos que:
  • Se \theta\in[0,\pi], então \operatorname{sen}\theta\ge0 e r=-4\operatorname{sen}\theta\le0. Essas retas com r\le0 apontam para o semiplano y\le0.
  • Se \theta\in[\pi,2\pi], então \operatorname{sen}\theta\le0 e r\ge0, cobrindo também o mesmo semiplano.
    Portanto, à medida que \theta vai de 0 a 2\pi, toda a circunferência é traçada uma vez, ficando abaixo do eixo x e tangente ao polo no ponto (0,0).

Resposta

A curva é o círculo de centro (0,-2) e raio 2, tangent e ao polo (origem) no ponto (0,0).

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