Esboce a curva em coordenadas polares:
r=3+2 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas polares, da curva
r = 3 + 2\operatorname{sen}\theta.
Esse é um exercício de curvas em coordenadas polares; para resolver vamos analisar o comportamento de r em função de \theta e depois plotar pontos estratégicos.

Passo 2

Reconhecemos a forma
r = a + b\operatorname{sen}\theta
com a=3 e b=2. Trata-se de uma limaçon de Pascal. Como
\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{3}{2}>1,
a curva não tem laço interno, mas apresenta um leve entalhe (“dimple”). Além disso, é simétrica em relação ao eixo vertical (linha \theta=\tfrac{\pi}{2} \tfrac{3\pi}{2}).

Passo 3

Vamos achar os valores extremos de r e os interceptos principais:
  • Máximo de r quando \operatorname{sen}\theta=1, isto é \theta=\tfrac{\pi}{2}: r_{\max}=3+2\cdot1=5.
  • Mínimo de r quando \operatorname{sen}\theta=-1, isto é \theta=\tfrac{3\pi}{2}: r_{\min}=3+2\cdot(-1)=1.
  • Interceptos nos eixos:
    • Para \theta=0: r(0)=3 → ponto (3,0).
    • Para \theta=\pi: r(\pi)=3 → ponto (-3,0).

Passo 4

Montamos uma tabela com alguns \theta e pontos correspondentes em coordenadas cartesianas (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta):
\begin{array}{c|c|c|c} \theta & r=3+2\operatorname{sen}\theta & (x,y) & \text{Comentário}\\hline 0 & 3 & (3,0) & ponto à direita\\\ \pi/6 & 3+2\cdot\tfrac12=4 & \bigl(4\cos\tfrac\pi6,4\operatorname{sen}\tfrac\pi6\bigr)=(2\sqrt3,2) & início subida\\\ \pi/2 & 5 & (0,5) & ponto mais alto\\\\ 2\pi/3 & 3+2\cdot\tfrac{\sqrt3}2\approx4{,}732 & (\approx -2{,}366,\,4{,}098) & descida\\\ \pi & 3 & (-3,0) & ponto à esquerda\\\\ 3\pi/2 & 1 & (0,-1) & ponto mais baixo \end{array}áàíà
Ligando esses pontos suavemente, respeitando a simetria vertical e o entalhe à esquerda, obtemos o esboço da limaçon.

Resposta

O esboço é uma limaçon de Pascal sem laço interno e com entalhe, simétrica em relação ao eixo vertical. Os pontos chave são:
(3,0), (0,5), (−3,0) e (0,−1), com r variando de 1 a 5. Traçando passando suavemente por eles, temos a forma solicitada.

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