Esboce a curva em coordenadas polares:
r=3+4 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce em coordenadas polares a curva
r = 3 + 4\cos\theta.
O conteúdo é o estudo de curvas polares do tipo “limaçon” e vamos precisar identificar zeros, máximos e mínimos de r(\theta) para orientar o traçado.

Passo 2

Repare que a forma geral é
r = a + b\cos\theta
com a=3 e b=4. Como \lvert b\rvert > \lvert a\rvert, isso caracteriza um limaçon com laço interno. Ou seja, para alguns \theta temos r<0 e isso gera o laço.

Passo 3

Calculamos valores-chave de r:
r(0)=3+4\cdot1=7\quad(\text{máximo no eixo polar positivo}),á
r\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=3+4\cdot0=3,
r(\pi)=3+4\cdot(-1)=-1\quad(\text{gera o laço interno}).ç
As raízes ocorrem quando
\;3+4\cos\theta=0\quad\Longrightarrow\quad\cos\theta=-\tfrac{3}{4},
portanto
\theta_1=\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)\approx2{,}419,\quad \theta_2=2\pi-\theta_1\approx3{,}864.

Passo 4

Vamos resumir alguns pontos no plano polar:
\theta=0,\;r=7.
\theta=\tfrac{\pi}{3},\;r=3+4\cdot\tfrac12=5.
\theta=\tfrac{2\pi}{3},\;r=3+4\cdot(-\tfrac12)=1.
\theta=\theta_1\approx2{,}419,\;r=0 (cruza o polo).
\theta=\pi,\;r=-1 (laço interno de raio 1 voltado para \theta=0).
– Mesma simetria para \theta>\pi, fechando a curva.

Passo 5

Como esboçar:
  1. Parta do polo e desenhe até r=7 em \theta=0.
  2. Aumente \theta de 0 a \approx2{,}419: o raio decresce de 7 a 0, formando a metade superior da “barriga” externa.
  3. Entre \theta\approx2{,}419 e \approx3{,}864, r fica negativo, desenhando o laço interno voltado para o lado oposto.
  4. De \theta\approx3{,}864 até 2\pi, o raio volta de 0 a 7 (pela parte inferior), completando o limaçon com laço interno.

Resposta

É um limaçon com laço interno (pois \lvert b\rvert>\lvert a\rvert). O ponto mais afastado é r=7 em \theta=0, a curva corta o polo em \theta\approx2{,}419 e \theta\approx3{,}864, e o laço interno atinge raio 1 em \theta=\pi.

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