Esboce a curva em coordenadas polares:
r=3-\operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares
r = 3 - \operatorname{sen}\theta
Este tipo de curva é um limaçon de Pascal (parâmetros a=3 e b=1). Para esboçar, vamos precisar estudar domínio, extremos de r, simetrias e alguns pontos-chave.

Passo 2

Determinar os valores mínimo e máximo de r. Como -1\le\operatorname{sen}\theta\le1,
r_{\min} = 3 - 1 = 2, \qquad r_{\max} = 3 - (-1) = 4.
Portanto r varia entre 2 e 4, nunca muda de sinal, logo não há laço interno.

Passo 3

Analisar simetria. Como
\operatorname{sen}(\pi - \theta)=\operatorname{sen}\theta \quad\implies\quad r(\pi - \theta)=3-\operatorname{sen}(\pi-\theta)=3-\operatorname{sen}\theta=r(\theta),
a curva é simétrica em relação à reta \theta=\tfrac\pi2 (eixo vertical).

Passo 4

Calcular alguns pontos notáveis no intervalo [0,2\pi]: \theta=0: \sen0=0; \to; r=3 ⇒ ponto (3,0). \theta=\tfrac\pi2: \operatorname{sen}\tfrac\pi2=1; \to; r=2 ⇒ ponto (0,2). \theta=\pi: \operatorname{sen}\pi=0; \to; r=3 ⇒ ponto (-3,0). \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \operatorname{sen}\tfrac{3\pi}{2}=-1; \to; r=4 ⇒ ponto (0,-4).

Passo 5

Esboço da curva:
– Marque os pontos (3,0), (0,2), (-3,0) e (0,-4).
– Conecte-os suavemente, sabendo que r nunca zera e que a “barriga” maior fica voltada para baixo (onde r é máximo).
– Mantenha a simetria vertical.

Resposta

A curva é um limaçon convexo simétrico em relação ao eixo vertical, passando pelos pontos indicados e sem laço interno. O esboço fica assim:
↑ y
| •(0,2)
|
•(-3,0)———•(3,0)——→ x
|
| •(0,−4)

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