Esboce a curva em coordenadas polares:
r=-2 \cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares
r = -2\cos\bigl(2\theta\bigr).
Aqui o conteúdo principal é rosa polar (petaled rose), que tem forma geral
r = a\cos\bigl(k\theta\bigr)\quad\text{ou}\quad r = a\sin\bigl(k\theta\bigr),
e precisamos saber quantas pétalas surgem, seu comprimento e em que direções elas ficam.

Passo 2

Reconhecemos que a=-2 e k=2 na forma r=a\cos(k\theta). Para rosas polares com k inteiro:
  • Se k é par, surgem 2k pétalas.
  • Cada pétala tem comprimento \lvert a\rvert.
    Então aqui teremos 2\cdot2=4 pétalas de comprimento \lvert -2\rvert=2.

Passo 3

Para marcar onde cada pétala começa e termina, achamos os zeros de r:
r=0\;\Longleftrightarrow\;\cos\bigl(2\theta\bigr)=0 \;\Longleftrightarrow\; 2\theta = \frac\pi2 + n\pi \;\Longleftrightarrow\; \theta = \frac\pi4 + \frac{n\pi}2,\;n=0,1,2,3.
Isso dá quatro direções em que a curva cruza a origem: \theta=\pi/4,\;3\pi/4,\;5\pi/4,\;7\pi/4.

Passo 4

Agora encontremos onde r atinge módulo máximo:
  1. Quando \cos(2\theta)=-1, então r=-2\cdot(-1)=2.
    Resolvendo
2\theta = \pi + 2m\pi \;\Longrightarrow\; \theta = \frac\pi2 + m\pi,
\theta=\pi/2 e \theta=3\pi/2. Nessas direções temos pétalas de raio 2.
2. Quando \cos(2\theta)=1, então r=-2\cdot1=-2.
Para \theta=0 e \theta=\pi, r<0 significa pétala de raio 2 apontando na direção \theta+\pi, ou seja, gera pétalas aos 0 e \pi também.

Passo 5

Juntando tudo:
  • São 4 pétalas de comprimento 2.
  • Elas ficam alinhadas aos eixos coordenados:
  • \theta=0 (eixo positivo x)
  • \theta=\pi/2 (eixo positivo y)
  • \theta=\pi (eixo negativo x)
  • \theta=3\pi/2 (eixo negativo y)
    A curva se inicia em r=2 em \theta=\pi/2, vai ao centro em \theta=\pi/4, abre uma pétala até \theta=0, e assim por diante ciclicamente.

Resposta

Uma rosa de quatro pétalas, cada uma com comprimento 2, centradas nos eixos x e y. Petalas nos ângulos \theta=0,\pi/2,\pi,3\pi/2.

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