Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica de em função de
; podemos considerar o domínio padrão
para esboçar a curva completa. Não há outras informações externas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica de
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada coisa em coordenadas polares, de forma bem prática:
-
é a distância do ponto à origem; é sempre o módulo (positivo) se escrito assim, mas em coordenadas polares permitimos negativo para representar um ponto na direção oposta. -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo (0 radianos) no sentido anti-horário. - Conversão entre coordenadas cartesianas e polares:
Um detalhe importante que vamos usar: se numa certao valor de for negativo, o ponto correspondente é o mesmo que tomar com o ângulo (ou seja, vira para o lado oposto).
Passo 3
Determinar onde a curva corta a origem: resolvemos
.
Isso acontece quando , ou seja quando
para
. Logo
Isso acontece quando
Na faixa
os zeros são em
Esses ângulos são os limites entre pétalas (pontos em que muda de sinal).
Esses ângulos são os limites entre pétalas (pontos em que
Passo 4
A amplitude e os extremos: como
varia entre
e
, temos
Os máximos ocorrem quando
, isto é
, então
Na prática, em
as posições com
são
e
.
Os mínimos (mais negativos) ocorrem quando , ou seja
e
, mas nesses pontos
; isso representa pontos a distância
na direção
. Portanto os pontos correspondentes ficam efetivamente nas direções
e
(o que confirma que teremos pétalas nessas direções também). Em resumo, veremos quatro pétalas com comprimento
.
Os mínimos (mais negativos) ocorrem quando
Passo 5
Reconhecendo o tipo da curva (fórmula e número de pétalas): a curva está na forma geral
. Regra prática (que é bom decorar):
- se
é ímpar, a rosa tem pétalas; - se
é par, a rosa tem pétalas.
Aqui(par), portanto o número de pétalas é . O comprimento (raio máximo) de cada pétala é .
Passo 6
Posições angulares das pétalas: para localizar os centros das pétalas, achamos onde
atinge máximo positivo ou, quando
é negativo, deslocamos
para achar a direção real do ponto. A análise do passo anterior mostra que as quatro pétalas ficam centradas aproximadamente em
ou seja, em ângulos
. Essas direções estão separadas por
, e cada pétala tem comprimento
.
Passo 7
Comportamento em cada intervalo entre zeros (como desenhar um pétala): observe os sinais de
em intervalos de
:
- em
: e cresce até (onde ), então essa é a pétala no primeiro quadrante centrada em ; - em
: e atinge em ; como fica negativo, os pontos dessa parte são plotados no sentido oposto, formando uma pétala no quarto quadrante (direção ); - em
: de novo, produz a pétala no terceiro quadrante (centro ); - em
: , produz a pétala remanescente no segundo quadrante (centro ).
Uma forma prática de desenhar cada pétala: entre dois zeros consecutivos (por exemplo entree ) calcular alguns pontos:
Isso mostra a pétala subindo suavemente de
até
em
e voltando a
. Repita essa amostra para os outros três intervalos (lembrando de tratar os
negativos como pontos no ângulo
).
Passo 8
Simetrias úteis para o desenho: a função
tem período
, logo
— isso dá simetria a cada
. Também há simetrias em relação às retas que passam pelos ângulos dados (as pétalas estão distribuídas uniformemente a cada
). Essas simetrias facilitam desenhar só uma pétala com precisão e replicar as outras por rotação de
.
Passo 9
Instrução prática final para esboçar (passo a passo que você pode fazer na prova):
- Desenhe os eixos cartesianos e marque os ângulos
. Esses são os zeros ( ). - Marque pontos de máximo a distância
das origens nas direções . Por exemplo, em o ponto é . - Entre cada par de zeros, desenhe uma curva suave que sai da origem, cresce até o ponto máximo (distância 4) e volta ao zero no próximo ângulo zero. Isso forma uma pétala. Para os intervalos em que
fica negativo, lembre-se de desenhar a pétala no lado oposto (ângulo ). - Reforce a simetria: as quatro pétalas serão idênticas e espaçadas de
.
Se quiser, faça uma pequena tabela de valores (já dada em um intervalo) para ter pontos intermediários e obter a forma correta da pétala ao conectar suavemente.
Resposta
Rosa de 4 pétalas (equação do tipo
com
), cada pétala com comprimento
, centradas em
; zeros em
.