Esboce a curva em coordenadas polares:
r=4 \operatorname{sen}(2 \theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por \;r = 4\sin(2\theta)\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica de r em função de \theta; podemos considerar o domínio padrão \theta\in[0,2\pi) para esboçar a curva completa. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada coisa em coordenadas polares, de forma bem prática:
  • \;r\; é a distância do ponto à origem; é sempre o módulo (positivo) se escrito assim, mas em coordenadas polares permitimos r negativo para representar um ponto na direção oposta.
  • \;\theta\; é o ângulo medido a partir do eixo positivo x (0 radianos) no sentido anti-horário.
  • Conversão entre coordenadas cartesianas e polares: \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; r=\sqrt{x^2+y^2}.
    Um detalhe importante que vamos usar: se numa certa \theta o valor de r for negativo, o ponto correspondente é o mesmo que tomar |r| com o ângulo \theta+\pi (ou seja, vira para o lado oposto).

Passo 3

Determinar onde a curva corta a origem: resolvemos \;r=0\Rightarrow 4\sin(2\theta)=0.
Isso acontece quando \;\sin(2\theta)=0, ou seja quando \;2\theta=k\pi para k\in\mathbb{Z}. Logo
\theta = \frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Na faixa [0,2\pi) os zeros são em \;\theta=0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2}.
Esses ângulos são os limites entre pétalas (pontos em que r muda de sinal).

Passo 4

A amplitude e os extremos: como \sin(2\theta) varia entre -1 e 1, temos
-4 \le r \le 4.
Os máximos ocorrem quando \sin(2\theta)=1, isto é 2\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k, então
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi.
Na prática, em [0,2\pi) as posições com r=4 são \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4}.
Os mínimos (mais negativos) ocorrem quando \sin(2\theta)=-1, ou seja \theta=\tfrac{3\pi}{4} e \theta=\tfrac{7\pi}{4}, mas nesses pontos r=-4; isso representa pontos a distância 4 na direção \theta+\pi. Portanto os pontos correspondentes ficam efetivamente nas direções \tfrac{3\pi}{4}+\pi=\tfrac{7\pi}{4} e \tfrac{7\pi}{4}+\pi=\tfrac{3\pi}{4} (o que confirma que teremos pétalas nessas direções também). Em resumo, veremos quatro pétalas com comprimento 4.

Passo 5

Reconhecendo o tipo da curva (fórmula e número de pétalas): a curva está na forma geral \;r=a\sin(n\theta). Regra prática (que é bom decorar):
  • se n é ímpar, a rosa tem n pétalas;
  • se n é par, a rosa tem 2n pétalas.
    Aqui n=2 (par), portanto o número de pétalas é 2\cdot2=4. O comprimento (raio máximo) de cada pétala é |a|=4.

Passo 6

Posições angulares das pétalas: para localizar os centros das pétalas, achamos onde r atinge máximo positivo ou, quando r é negativo, deslocamos \pi para achar a direção real do ponto. A análise do passo anterior mostra que as quatro pétalas ficam centradas aproximadamente em
\theta=\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4},
ou seja, em ângulos 45^\circ,\;135^\circ,\;225^\circ,\;315^\circ. Essas direções estão separadas por 90^\circ, e cada pétala tem comprimento 4.

Passo 7

Comportamento em cada intervalo entre zeros (como desenhar um pétala): observe os sinais de \sin(2\theta) em intervalos de \theta:
  • em [0,\tfrac{\pi}{2}]: \sin(2\theta)\ge0 e cresce até \theta=\tfrac{\pi}{4} (onde r=4), então essa é a pétala no primeiro quadrante centrada em \tfrac{\pi}{4};
  • em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: \sin(2\theta)\le0 e atinge -1 em \tfrac{3\pi}{4}; como r fica negativo, os pontos dessa parte são plotados no sentido oposto, formando uma pétala no quarto quadrante (direção \tfrac{7\pi}{4});
  • em [\pi,\tfrac{3\pi}{2}]: \sin(2\theta)\ge0 de novo, produz a pétala no terceiro quadrante (centro \tfrac{5\pi}{4});
  • em [\tfrac{3\pi}{2},2\pi]: \sin(2\theta)\le0, produz a pétala remanescente no segundo quadrante (centro \tfrac{3\pi}{4}).
    Uma forma prática de desenhar cada pétala: entre dois zeros consecutivos (por exemplo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}) calcular alguns pontos:
\begin{aligned} \theta&=0\Rightarrow r=0,\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{8}\Rightarrow r=4\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{8}\right)=4\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{4}\Rightarrow r=4,\\\ \theta&=\tfrac{3\pi}{8}\Rightarrow r=2\sqrt{2},\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow r=0. \end{aligned}
Isso mostra a pétala subindo suavemente de r=0 até r=4 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e voltando a 0. Repita essa amostra para os outros três intervalos (lembrando de tratar os r negativos como pontos no ângulo \theta+\pi).

Passo 8

Simetrias úteis para o desenho: a função \sin(2\theta) tem período \pi, logo \;r(\theta+\pi)=r(\theta) — isso dá simetria a cada \pi. Também há simetrias em relação às retas que passam pelos ângulos dados (as pétalas estão distribuídas uniformemente a cada \tfrac{\pi}{2}). Essas simetrias facilitam desenhar só uma pétala com precisão e replicar as outras por rotação de 90^\circ.

Passo 9

Instrução prática final para esboçar (passo a passo que você pode fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos cartesianos e marque os ângulos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}. Esses são os zeros ( r=0).
  2. Marque pontos de máximo a distância 4 das origens nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}. Por exemplo, em \theta=\tfrac{\pi}{4} o ponto é (x,y)=(4\cos\tfrac{\pi}{4},4\sin\tfrac{\pi}{4})=(2\sqrt{2},2\sqrt{2}).
  3. Entre cada par de zeros, desenhe uma curva suave que sai da origem, cresce até o ponto máximo (distância 4) e volta ao zero no próximo ângulo zero. Isso forma uma pétala. Para os intervalos em que r fica negativo, lembre-se de desenhar a pétala no lado oposto (ângulo \theta+\pi).
  4. Reforce a simetria: as quatro pétalas serão idênticas e espaçadas de 90^\circ.
Se quiser, faça uma pequena tabela de valores (já dada em um intervalo) para ter pontos intermediários e obter a forma correta da pétala ao conectar suavemente.

Resposta

Rosa de 4 pétalas (equação do tipo r=a\sin(n\theta) com n=2), cada pétala com comprimento 4, centradas em \theta=\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{3\pi}{4},\;\tfrac{5\pi}{4},\;\tfrac{7\pi}{4}; zeros em \theta=0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2}.

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