Questão 3 (2 pts.). Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+4 x_{2}+\alpha x_{3}=6 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=1 \end{array}\right.
Utilizando o método de Gauss, determine para quais valores do parâmetro \alpha a equação possui:
i) Uma única solução, e determine-a.
ii) Infinitas soluções, e descreva o conjunto solução.
iii) Nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+4 x_{2}+\alpha x_{3}=6 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=1 \end{array}\right.
O que se pede:
i) Determinar para quais valores de \alpha o sistema tem uma única solução, e encontrar essa solução.
ii) Determinar para quais valores de \alpha o sistema tem infinitas soluções, e descrever o conjunto solução.
iii) Determinar para quais valores de \alpha o sistema não tem solução.

Passo 2

Breve lembrete sobre o método de Gauss (passo didático): a ideia é transformar o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares sobre as equações (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto solução. Depois de triangular, usamos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas. Vou aplicar essas operações de forma explícita.
Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & \alpha & 6\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 5\\[4pt] 3 & 5 & 2 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminação da primeira coluna abaixo do pivô (elemento (1,1)=1). Faço
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\text{R}_1.
Calculemos as novas linhas:
\text{R}_2:\; [2-2\cdot1,\; 3-2\cdot4,\; 1-2\alpha,\; 5-2\cdot6] = [0,\; -5,\; 1-2\alpha,\; -7].
\text{R}_3:\; [3-3\cdot1,\; 5-3\cdot4,\; 2-3\alpha,\; 1-3\cdot6] = [0,\; -7,\; 2-3\alpha,\; -17].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & \alpha & 6\\[4pt] 0 & -5 & 1-2\alpha & -7\\[4pt] 0 & -7 & 2-3\alpha & -17 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora eliminamos o elemento (3,2) usando a segunda linha como pivô. O pivô atual é -5 na posição (2,2). Para zerar -7 em (3,2) fazemos
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \dfrac{7}{5}\text{R}_2 (note que \dfrac{-7}{-5}=\dfrac{7}{5}).
Calculemos a terceira linha após essa operação (faço passo a passo para ficar claro):
  • Terceira coluna: (2-3\alpha) - \dfrac{7}{5}(1-2\alpha).
    Colocando em denominador comum 5:
(2-3\alpha)=\frac{10-15\alpha}{5},\qquad \dfrac{7}{5}(1-2\alpha)=\frac{7-14\alpha}{5}.
Subtraindo:
\frac{10-15\alpha}{5} - \frac{7-14\alpha}{5} = \frac{(10-15\alpha)-(7-14\alpha)}{5} = \frac{3-\alpha}{5}.
  • Lado direito: -17 - \dfrac{7}{5}(-7) = -17 + \dfrac{49}{5} = \dfrac{-85+49}{5} = \dfrac{-36}{5}.
Portanto a nova terceira linha é \displaystyle \left[0,\;0,\;\frac{3-\alpha}{5},\;-\frac{36}{5}\right].
Multiplicando essa linha por 5 (operação de escala que facilita a leitura; mantém a consistência da equação):
\displaystyle \left[0,\;0,\;3-\alpha,\;-36\right].
Logo, a forma triangular obtida (equivalente) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & \alpha & 6\\[4pt] 0 & -5 & 1-2\alpha & -7\\[4pt] 0 & 0 & 3-\alpha & -36 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretação do que apareceu na terceira linha (este passo é crucial para classificar os casos):
A terceira linha representa a equação
(3-\alpha)\,x_{3} = -36.
Há três possibilidades para o fator (3-\alpha):
  • Se (3-\alpha)\neq 0 (ou seja, \alpha\neq 3), então a equação determina um valor único para x_3. Como temos três pivôs (um em cada linha), o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas; portanto o sistema tem uma única solução.
  • Se (3-\alpha)=0 (ou seja, \alpha=3), a terceira linha fica
0\cdot x_3 = -36,
ou seja, 0 = -36, que é uma contradição. Isso significa que, para \alpha=3, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Observação sobre soluções infinitas: para ter infinitas soluções seria necessário que a terceira linha se tornasse 0=0 (ou seja, coeficientes e termo independente ambos zerassem), de modo que o posto da matriz de coeficientes fosse menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada. Aqui o lado direito da terceira linha é -36 (não depende de \alpha), logo nunca zera simultaneamente com o coeficiente 3-\alpha. Portanto não existe valor de \alpha que torne a terceira linha 0=0. Conclusão: não há valores de \alpha que gerem infinitas soluções.
Resumindo: única solução ocorre para \alpha\neq 3; nenhuma solução ocorre para \alpha=3; infinitas soluções: nenhum \alpha.

Passo 6

Agora, para \alpha\neq 3, vamos encontrar explicitamente a solução pelo processo de substituição regressiva.
Da terceira linha triangular temos
(3-\alpha)\,x_{3} = -36 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = \frac{-36}{3-\alpha}.
É conveniente simplificar o sinal trocando o denominador:
x_{3} = \frac{36}{\alpha-3}.
(Usei 3-\alpha=-(\alpha-3), então -36/(3-\alpha)=36/(\alpha-3).)
Agora use a segunda linha:
-5\,x_{2} + (1-2\alpha)\,x_{3} = -7.
Isolando x_2:
-5\,x_{2} = -7 - (1-2\alpha)\,x_{3} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{7 + (1-2\alpha)\,x_{3}}{5}.
Substituindo x_{3}=\dfrac{36}{\alpha-3}:
x_{2} = \frac{7 + (1-2\alpha)\dfrac{36}{\alpha-3}}{5} = \frac{1}{5}\cdot\frac{7(\alpha-3) + 36(1-2\alpha)}{\alpha-3}.
Calcule o numerador:
7(\alpha-3) + 36(1-2\alpha) = 7\alpha -21 + 36 -72\alpha = -65\alpha +15.
Logo
x_{2} = \frac{-65\alpha +15}{5(\alpha-3)} = \frac{3-13\alpha}{\alpha-3}.
(Observe que dividi o numerador por 5: -65\alpha+15= -5(13\alpha-3).)
Por fim, da primeira linha:
x_{1} + 4x_{2} + \alpha x_{3} = 6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 6 - 4x_{2} - \alpha x_{3}.
Substituindo x_{2}=\dfrac{3-13\alpha}{\alpha-3} e x_{3}=\dfrac{36}{\alpha-3}, escrevo tudo com denominador \alpha-3:
x_{1} = \frac{6(\alpha-3) -4(3-13\alpha) -36\alpha}{\alpha-3}.
Calcule o numerador:
6(\alpha-3) -4(3-13\alpha) -36\alpha = 6\alpha-18 -12 +52\alpha -36\alpha = 22\alpha -30.
Portanto
x_{1} = \frac{22\alpha -30}{\alpha-3}.
Resumo das expressões (válidas para \alpha\neq 3):
x_{1} = \frac{22\alpha -30}{\alpha-3},\qquad x_{2} = \frac{3-13\alpha}{\alpha-3},\qquad x_{3} = \frac{36}{\alpha-3}.

Resposta

i) Para \alpha\neq 3 o sistema tem uma única solução:
x_{1}=\frac{22\alpha-30}{\alpha-3},\qquad x_{2}=\frac{3-13\alpha}{\alpha-3},\qquad x_{3}=\frac{36}{\alpha-3}.
ii) Não existe valor de \alpha que gere infinitas soluções.
iii) Para \alpha=3 não há solução (sistema inconsistente).

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