Utilizando o método de Gauss, determine para quais valores do parâmetro \alpha a equação possui:
i) Uma única solução, e determine-a.
ii) Infinitas soluções, e descreva o conjunto solução.
iii) Nenhuma solução.
O que se pede:
i) Determinar para quais valores de \alpha o sistema tem uma única solução, e encontrar essa solução.
ii) Determinar para quais valores de \alpha o sistema tem infinitas soluções, e descrever o conjunto solução.
iii) Determinar para quais valores de \alpha o sistema não tem solução.
Passo 2
Breve lembrete sobre o método de Gauss (passo didático): a ideia é transformar o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares sobre as equações (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto solução. Depois de triangular, usamos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas. Vou aplicar essas operações de forma explícita.
Agora eliminamos o elemento (3,2) usando a segunda linha como pivô. O pivô atual é -5 na posição (2,2). Para zerar -7 em (3,2) fazemos \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \dfrac{7}{5}\text{R}_2 (note que \dfrac{-7}{-5}=\dfrac{7}{5}).
Calculemos a terceira linha após essa operação (faço passo a passo para ficar claro):
Terceira coluna: (2-3\alpha) - \dfrac{7}{5}(1-2\alpha).
Colocando em denominador comum 5:
Portanto a nova terceira linha é \displaystyle \left[0,\;0,\;\frac{3-\alpha}{5},\;-\frac{36}{5}\right].
Multiplicando essa linha por 5 (operação de escala que facilita a leitura; mantém a consistência da equação): \displaystyle \left[0,\;0,\;3-\alpha,\;-36\right].
Logo, a forma triangular obtida (equivalente) é:
Interpretação do que apareceu na terceira linha (este passo é crucial para classificar os casos):
A terceira linha representa a equação
(3-\alpha)\,x_{3} = -36.
Há três possibilidades para o fator (3-\alpha):
Se (3-\alpha)\neq 0 (ou seja, \alpha\neq 3), então a equação determina um valor único para x_3. Como temos três pivôs (um em cada linha), o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas; portanto o sistema tem uma única solução.
Se (3-\alpha)=0 (ou seja, \alpha=3), a terceira linha fica
0\cdot x_3 = -36,
ou seja, 0 = -36, que é uma contradição. Isso significa que, para \alpha=3, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Observação sobre soluções infinitas: para ter infinitas soluções seria necessário que a terceira linha se tornasse 0=0 (ou seja, coeficientes e termo independente ambos zerassem), de modo que o posto da matriz de coeficientes fosse menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada. Aqui o lado direito da terceira linha é -36 (não depende de \alpha), logo nunca zera simultaneamente com o coeficiente 3-\alpha. Portanto não existe valor de \alpha que torne a terceira linha 0=0. Conclusão: não há valores de \alpha que gerem infinitas soluções.
Resumindo: única solução ocorre para \alpha\neq 3; nenhuma solução ocorre para \alpha=3; infinitas soluções: nenhum \alpha.
Passo 6
Agora, para \alpha\neq 3, vamos encontrar explicitamente a solução pelo processo de substituição regressiva.