Esboce a curva em coordenadas polares:
r=5+3 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r = 5 + 3\sin\theta.
Informações dadas e o que vamos precisar:
  • A equação polar explícita r(\theta)=5+3\sin\theta.
  • Implicitamente consideramos \theta\in[0,2\pi) para desenhar uma volta completa.
  • Vamos precisar calcular valores de r em ângulos importantes, identificar máximo e mínimo de r, verificar simetrias e pensar como esses pontos ficam no plano (convertendo para x,y quando for útil).
    Não vou resolver nada ainda — só listei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Breve aula de introdução às coordenadas polares (para você entender o esboço).
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Conversão para coordenadas cartesianas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r pode ser positivo ou negativo; se r for negativo o ponto fica no sentido oposto do ângulo. No nosso caso veremos que r>0 para todos os \theta, então não precisamos lidar com r<0.
  • A forma r=a+b\sin\theta (ou r=a+b\cos\theta) é conhecida como uma limaçon de Pascal. Dependendo da razão \dfrac{a}{b} a curva tem laço interno, é cardioide, é denteada (dimpled) ou convexa. Vou usar isso no passo seguinte.

Passo 3

Classificar a curva e verificar simetrias (muito útil para esboçar).
  • Na nossa curva temos a=5 e b=3. Calcule a razão
\frac{a}{b}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67.
  • Regras rápidas (para r=a+b\sin\theta com a,b>0):
    • Se \dfrac{a}{b}<1 há um laço interno.
    • Se \dfrac{a}{b}=1 é cardioide.
    • Se 1<\dfrac{a}{b}<2 a limaçon é denteada (dimpled), sem laço.
    • Se \dfrac{a}{b}\ge 2 a limaçon é convexa.
  • Como \dfrac{a}{b}=5/3\in(1,2), a curva é uma limaçon denteada (dimpled), ou seja, não tem laço interno, mas apresenta uma “entaladura” (dimple).
  • Simetria: por ser r=a+b\sin\theta, a curva é simétrica em relação à reta vertical \theta=\dfrac{\pi}{2} (o eixo y). Isso significa que o ramo para \theta e para \pi-\theta são espelhados.

Passo 4

Encontrar máximos e mínimos de r ao longo de \theta (ajuda a saber o quanto a curva se afasta do centro).
  • Derive r(\theta):
\frac{dr}{d\theta}=3\cos\theta.
  • Zeros de \dfrac{dr}{d\theta} ocorrem quando \cos\theta=0, isto é \theta=\dfrac{\pi}{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{2}.
  • Calcule r nesses ângulos:
r\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=5+3\sin\frac{\pi}{2}=5+3\cdot1=8,
r\Bigl(\frac{3\pi}{2}\Bigr)=5+3\sin\frac{3\pi}{2}=5+3\cdot(-1)=2.
Portanto r_{\max}=8 em \theta=\dfrac{\pi}{2} (ponto mais afastado no sentido positivo do eixo y) e r_{\min}=2 em \theta=\dfrac{3\pi}{2} (ponto mais próximo, no sentido negativo do eixo y). Como r_{\min}=2>0, não há laço interno.

Passo 5

Calcular valores de r e das coordenadas (x,y) em ângulos-chave para guiar o esboço. Vou mostrar a conta passo a passo para cada ângulo e arredondar para 3 casas decimais.
  • \theta=0: r=5+3\sin0=5+0=5.
x=r\cos0=5\cdot1=5,\qquad y=r\sin0=5\cdot0=0.
Ponto: \,(5,0).
  • \theta=\dfrac{\pi}{6} ( 30^\circ, \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}): r=5+3\cdot\frac{1}{2}=5+1{,}5=6{,}5.
x=6{,}5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 6{,}5\cdot0{,}866=5{,}629,
y=6{,}5\cdot\frac{1}{2}=3{,}25.
Ponto aproximado: \,(5{,}629,\;3{,}25).
  • \theta=\dfrac{\pi}{4} ( 45^\circ, \sin=\cos=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071): r=5+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx5+3\cdot0{,}7071=5+2{,}121=7{,}121.
x=y=7{,}121\cdot0{,}7071\approx5{,}031.
Ponto aproximado: \,(5{,}031,\;5{,}031).
  • \theta=\dfrac{\pi}{3} ( 60^\circ, \sin\frac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660, \cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}): r\approx5+3\cdot0{,}8660=5+2{,}598=7{,}598.
x=7{,}598\cdot\frac{1}{2}=3{,}799,\qquad y=7{,}598\cdot0{,}8660\approx6{,}579.
Ponto aproximado: \,(3{,}799,\;6{,}579).
  • \theta=\dfrac{\pi}{2}: r=8,\quad x=0,\quad y=8.Ponto: \,(0,8) (máximo radial).
  • \theta=\pi: r=5+3\sin\pi=5+0=5.
x=5\cos\pi=5\cdot(-1)=-5,\quad y=0.
Ponto: \,(-5,0).
  • \theta=\dfrac{5\pi}{4} ( 225^\circ, \sin=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}7071): r\approx5+3\cdot(-0{,}7071)=5-2{,}121=2{,}879.
x=r\cos\frac{5\pi}{4}=2{,}879\cdot(-0{,}7071)\approx-2{,}035,\quad y\approx-2{,}035.
Ponto aproximado: \,(-2{,}035,\;-2{,}035).
  • \theta=\dfrac{3\pi}{2}: r=2,\quad x=0,\quad y=-2.Ponto: \,(0,-2) (mínimo radial).
  • \theta=\dfrac{7\pi}{4} ( 315^\circ, simétrico de 5\pi/4): r\approx2{,}879,\quad x\approx2{,}035,\quad y\approx-2{,}035.
  • \theta=2\pi volta ao início: r(2\pi)=5, ponto (5,0).
Esses pontos dão a “malha de controle” que usamos para ligar a curva suavemente.

Passo 6

Como ligar os pontos e quais características observar no esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
  1. Trace um sistema de eixos cartesianos ou um papel polar (círculos concêntricos e raios).
  2. Marque os pontos principais calculados:
    • Ponto direito: (5,0).
    • Ponto superior: (0,8).
    • Ponto esquerdo: (-5,0).
    • Ponto inferior: (0,-2).
    • Pontos intermediários (por exemplo (5{,}629,3{,}25), (5{,}031,5{,}031), (-2{,}035,-2{,}035) etc.) para ajudar a forma.
  3. Lembre-se da simetria vertical: o ramo à direita (ângulos entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}) vai espelhar o ramo à esquerda em torno do eixo y.
  4. Ligue os pontos com uma curva suave que:
    • Atinja o máximo em (0,8).
    • Vá diminuindo até (-5,0) quando \theta=\pi sem cruzar a origem (porque r>0).
    • Faça a “entaladura” (dimple) no lado esquerdo: em torno de \theta entre \pi e \tfrac{3\pi}{2} r diminui até 2 e depois cresce de novo.
  5. Evite formar um laço interno — aqui não existe porque r_{\min}=2>0.
  6. Como verificação final: percorra mentalmente \theta de 0 a 2\pi e confirme que os pontos se ligam suavemente, respeitando as posições calculadas.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumo prático que salva tempo):
  • Para r=a+b\sin\theta sempre calcule a e b e compare \dfrac{a}{b} para saber se tem laço, cardioide, dimple ou é convexa.
  • Calcule \dfrac{dr}{d\theta} para achar máximos e mínimos radiais ( \cos\theta=0 geralmente dá extremos quando a parte trigonométrica é seno).
  • Marque \theta=0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi se tiver pouco tempo — dá uma boa ideia da forma.
  • Sempre utilize a simetria (seno → eixo vertical, cosseno → eixo horizontal) para economizar trabalho.

Resposta

Limaçon denteada (dimpled) dada por r=5+3\sin\theta, simétrica em relação ao eixo y; r_{\max}=8 em \theta=\dfrac{\pi}{2}, r_{\min}=2 em \theta=\dfrac{3\pi}{2}; pontos-chave: (5,0), (0,8), (-5,0), (0,-2) e pontos intermediários aproximados (5{,}629,3{,}25), (5{,}031,5{,}031), (-2{,}035,-2{,}035).

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