Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por
Informações dadas e o que vamos precisar:
- A equação polar explícita
. - Implicitamente consideramos
para desenhar uma volta completa. - Vamos precisar calcular valores de
em ângulos importantes, identificar máximo e mínimo de , verificar simetrias e pensar como esses pontos ficam no plano (convertendo para quando for útil).
Não vou resolver nada ainda — só listei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Breve aula de introdução às coordenadas polares (para você entender o esboço).
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, onde é a distância à origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo . - Conversão para coordenadas cartesianas:
Aqui
pode ser positivo ou negativo; se
for negativo o ponto fica no sentido oposto do ângulo. No nosso caso veremos que
para todos os
, então não precisamos lidar com
.
- A forma
(ou ) é conhecida como uma limaçon de Pascal. Dependendo da razão a curva tem laço interno, é cardioide, é denteada (dimpled) ou convexa. Vou usar isso no passo seguinte.
Passo 3
Classificar a curva e verificar simetrias (muito útil para esboçar).
- Na nossa curva temos
e . Calcule a razão
- Regras rápidas (para
com ): - Se
há um laço interno. - Se
é cardioide. - Se
a limaçon é denteada (dimpled), sem laço. - Se
a limaçon é convexa.
- Se
- Como
, a curva é uma limaçon denteada (dimpled), ou seja, não tem laço interno, mas apresenta uma “entaladura” (dimple). - Simetria: por ser
, a curva é simétrica em relação à reta vertical (o eixo ). Isso significa que o ramo para e para são espelhados.
Passo 4
Encontrar máximos e mínimos de
ao longo de
(ajuda a saber o quanto a curva se afasta do centro).
- Derive
:
- Zeros de
ocorrem quando , isto é e . - Calcule
nesses ângulos:
Portanto
em
(ponto mais afastado no sentido positivo do eixo
) e
em
(ponto mais próximo, no sentido negativo do eixo
). Como
, não há laço interno.
Passo 5
Calcular valores de
e das coordenadas
em ângulos-chave para guiar o esboço. Vou mostrar a conta passo a passo para cada ângulo e arredondar para 3 casas decimais.
-
:
Ponto:
.
-
( , , ):
Ponto aproximado:
.
-
( , ):
Ponto aproximado:
.
-
( , , ):
Ponto aproximado:
.
-
: Ponto: (máximo radial). -
:
Ponto:
.
-
( , ):
Ponto aproximado:
.
-
: Ponto: (mínimo radial). -
( , simétrico de ): -
volta ao início: , ponto .
Esses pontos dão a “malha de controle” que usamos para ligar a curva suavemente.
Passo 6
Como ligar os pontos e quais características observar no esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
- Trace um sistema de eixos cartesianos ou um papel polar (círculos concêntricos e raios).
- Marque os pontos principais calculados:
- Ponto direito:
. - Ponto superior:
. - Ponto esquerdo:
. - Ponto inferior:
. - Pontos intermediários (por exemplo
, , etc.) para ajudar a forma.
- Ponto direito:
- Lembre-se da simetria vertical: o ramo à direita (ângulos entre
e ) vai espelhar o ramo à esquerda em torno do eixo . - Ligue os pontos com uma curva suave que:
- Atinja o máximo em
. - Vá diminuindo até
quando sem cruzar a origem (porque ). - Faça a “entaladura” (dimple) no lado esquerdo: em torno de
entre e diminui até e depois cresce de novo.
- Atinja o máximo em
- Evite formar um laço interno — aqui não existe porque
. - Como verificação final: percorra mentalmente
de a e confirme que os pontos se ligam suavemente, respeitando as posições calculadas.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumo prático que salva tempo):
- Para
sempre calcule e e compare para saber se tem laço, cardioide, dimple ou é convexa. - Calcule
para achar máximos e mínimos radiais ( geralmente dá extremos quando a parte trigonométrica é seno). - Marque
se tiver pouco tempo — dá uma boa ideia da forma. - Sempre utilize a simetria (seno → eixo vertical, cosseno → eixo horizontal) para economizar trabalho.
Resposta
Limaçon denteada (dimpled) dada por
, simétrica em relação ao eixo
;
em
,
em
; pontos-chave:
,
,
,
e pontos intermediários aproximados
,
,
.