Esboce a curva em coordenadas polares:
r=\sqrt{\cos (2 \theta)}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = \sqrt{\cos(2\theta)}.
O conteúdo é o estudo de parcelas em polar e identificação do domínio (onde o radical é real) e depois traçar cada “lóbulo”.

Passo 2

Para que r seja real, precisamos ter
\cos(2\theta)\geq 0.
Isso ocorre quando
2\theta\in \bigl[-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\bigr],
ou seja
\theta\in \Bigl[-\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{4}+k\pi\Bigr],
para k\in\mathbb{Z}. Logo há dois conjuntos não sobrepostos por período 2\pi:
\theta\in \bigl[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr] \quad\text{e}\quad \theta\in \bigl[\,\tfrac{3\pi}{4},\,\tfrac{5\pi}{4}\bigr].

Passo 3

Para cada intervalo o comportamento de r é semelhante. Focando em \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr]:
  • Em \theta=\pm\tfrac{\pi}{4} temos \cos(2\theta)=\cos(\pm\tfrac{\pi}{2})=0, logo r=0.
  • Em \theta=0 temos \cos(0)=1, logo r=\sqrt{1}=1.
    Entre esses extremos, \cos(2\theta) decresce simetricamente de 1 até 0, então r descreve um “lóbulo” que abre desde o polo r=0 em \theta=-\tfrac{\pi}{4}, atinge r=1 em \theta=0, e fecha novamente no polo em \theta=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

No segundo intervalo \theta\in\bigl[\,\tfrac{3\pi}{4},\,\tfrac{5\pi}{4}\bigr]
temos o mesmo formato de lóbulo, mas apontado no sentido oposto (em torno de \theta=\pi). Em \theta=\tfrac{3\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4} o raio zera; em \theta=\pi o raio atinge novamente 1.

Passo 5

O conjunto dessas duas curvas forma a chamada lemniscata de Bernoulli (com parâmetro a=1), que tem dois laços simétricos ao longo do eixo polar \theta=0 (e \theta=\pi).

Resposta

O esboço é uma lemniscata com dois laços de raio máximo 1, um centrado em \theta=0 (entre -\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{4}) e outro espelhado em \theta=\pi (entre \tfrac{3\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}), ambos passando pelo polo em seus extremos.

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