Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
O conteúdo aqui é reconhecer que, por envolver
sob raiz, só teremos valores reais de
quando
. Além disso, essa forma
caracteriza a lemniscata de Bernoulli (duas “folhas” simétricas).
Passo 2
Determinar o domínio de
em que a raiz é real implica resolver
Sabemos que
quando
No intervalo principal
, isso gera dois subintervalos:
Passo 3
Analisar o trecho
.
- Em
temos logo . - Em
temos logo
que é o ponto mais distante da origem nesse lóbulo.
- Em
volta a ser , então .
Entree , cresce de 0 até 4; entre e , decresce de 4 até 0. Isso gera um “lóbulo” centrado em .
Passo 4
Analisar o trecho
.
Fazendo , nota-se que
e
. Logo o comportamento em
é idêntico ao de
apenas rotacionado em
. Assim surge um segundo lóbulo, com máximo
em
e zeros em
e
.
Fazendo
Passo 5
Concluir o esboço reunindo os dois lóbulos:
- Primeiro lóbulo para
, com ponta em . - Segundo lóbulo para
, com ponta em .
Resposta
A curva é a lemniscata de Bernoulli de equação
com dois lóbulos: um centrado em
e outro em
, ambos com raio máximo
.