Esboce a curva em coordenadas polares:
r=4 \sqrt{\operatorname{sen}(2 \theta)}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = 4 \sqrt{\sin(2\theta)}.
O conteúdo aqui é reconhecer que, por envolver \sin(2\theta) sob raiz, só teremos valores reais de r quando \sin(2\theta)\ge0. Além disso, essa forma \,r^{2}=16\sin(2\theta)\, caracteriza a lemniscata de Bernoulli (duas “folhas” simétricas).

Passo 2

Determinar o domínio de \theta em que a raiz é real implica resolver
\sin(2\theta)\ge0.
Sabemos que \sin(2\theta)\ge0 quando
2\theta\in [0,\pi]+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta\in \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]+k\pi.
No intervalo principal [0,2\pi), isso gera dois subintervalos:
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\quad\text{e}\quad \theta\in[\pi,\tfrac{3\pi}{2}].

Passo 3

Analisar o trecho \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Em \theta=0 temos \sin(0)=0 logo r=0.
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{4} temos \sin(2\cdot\tfrac{\pi}{4})=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1 logo
r=4\sqrt{1}=4,
que é o ponto mais distante da origem nesse lóbulo.
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2} volta a ser \sin(\pi)=0, então r=0.
    Entre 0 e \tfrac{\pi}{4}, r cresce de 0 até 4; entre \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{2}, decresce de 4 até 0. Isso gera um “lóbulo” centrado em \theta=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Analisar o trecho \theta\in[\pi,\tfrac{3\pi}{2}].
Fazendo \varphi=\theta-\pi, nota-se que 2\theta=2\pi+2\varphi e \sin(2\theta)=\sin(2\varphi). Logo o comportamento em [\pi,\tfrac{3\pi}{2}] é idêntico ao de [0,\tfrac{\pi}{2}] apenas rotacionado em \pi. Assim surge um segundo lóbulo, com máximo r=4 em \theta=\tfrac{5\pi}{4} e zeros em \theta=\pi e \theta=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Concluir o esboço reunindo os dois lóbulos:
  • Primeiro lóbulo para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], com ponta em \bigl(r=4,\theta=\tfrac{\pi}{4}\bigr).
  • Segundo lóbulo para \theta\in[\pi,\tfrac{3\pi}{2}], com ponta em \bigl(r=4,\theta=\tfrac{5\pi}{4}\bigr).

Resposta

A curva é a lemniscata de Bernoulli de equação
r^{2} = 16\,\sin(2\theta),
com dois lóbulos: um centrado em \theta=\tfrac{\pi}{4} e outro em \theta=\tfrac{5\pi}{4}, ambos com raio máximo r=4.

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