Esboce a curva em coordenadas polares:
r=4 \theta, \theta \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r = 4\theta,\quad \theta \ge 0.
O conteúdo é a Espiral de Arquimedes. Para esboçar, usaremos a relação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
e vamos calcular alguns pontos iniciais.

Passo 2

Montamos uma tabela de valores de \theta, calculamos r=4\theta e depois x e y: \theta=0 \quad r=0 \quad (x,y)=(0,0) \theta=\tfrac{\pi}{4} \quad r=4\cdot\tfrac{\pi}{4}=\pi \quad x=\pi\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{\sqrt2},\;y=\tfrac{\pi}{\sqrt2}; \approx(2{,}2,2{,}2) \theta=\tfrac{\pi}{2} \quad r=4\cdot\tfrac{\pi}{2}=2\pi \quad x=2\pi\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\;y=2\pi; \approx(0,6{,}3) \theta=\pi \quad r=4\pi \quad x=4\pi\cos\pi=-4\pi,\;y=0; \approx(-12{,}6,0)

Passo 3

No plano cartesiano, plotamos esses pontos e ligamos suavemente, observando que conforme \theta cresce, r aumenta de modo linear. Isso forma um enrolamento que se afasta do centro de maneira uniforme.

Passo 4

Cada volta completa \Delta\theta=2\pi faz r crescer em
\Delta r = 4\cdot2\pi = 8\pi,
ou seja, as espiras ficam espaçadas radialmente de 8\pi entre si. A curva gira no sentido anti-horário.

Resposta

A curva é uma espiral de Arquimedes com equação r=4\theta, \theta\ge0. Ela parte da origem e enrola-se uniformemente para fora, girando no sentido anti-horário e com separação radial constante de 8\pi entre voltas completas.

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