Esboce a curva em coordenadas polares:
\theta=-\frac{3 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede esboçar a curva em coordenadas polares definida por \theta = -\tfrac{3\pi}{4}.
Este tipo de equação representa uma semirreta que parte da origem fazendo ângulo fixo -\tfrac{3\pi}{4} com o eixo polar (eixo x positivo).

Passo 2

Em coordenadas polares, a equação \theta = \alpha
determina a semirreta que forma ângulo \alpha com o eixo x. Aqui \alpha = -\tfrac{3\pi}{4}, isto é, -135^\circ medido no sentido horário a partir do eixo x positivo.

Passo 3

Para entender sua posição no plano cartesiano, usamos
\frac{y}{x} = \tan(\theta)
Logo, com \theta = -\tfrac{3\pi}{4}, temos
\frac{y}{x} = \tan\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = 1
e portanto a reta correspondente tem equação
y = x.

Passo 4

Em coordenadas polares impomos também r \ge 0. Assim,
x = r\cos\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr),\quad y = r\sin\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr),\quad r\ge0.
Como \cos(-3\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(-3\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, segue que x\le0 e y\le0, ou seja, estamos na parte da reta y=x situada no terceiro quadrante.

Passo 5

Concluímos que a curva é a semirreta que parte da origem e segue na direção do ponto (-1,-1), ocupando todo o terceiro quadrante ao longo da reta y = x.

Resposta

A curva é a semirreta de origem com ângulo -\tfrac{3\pi}{4}, ou seja, a parte da linha y = x com x \le 0 (terceiro quadrante).

Exercícios relacionados