Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=1-3 \cos \theta

Passo 1

O que o problema pede e o que ele dá. O enunciado dá a curva polar
r = 1 - 3\cos\theta
e pede para esboçá-la. As informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona a distância radial r ao ângulo polar \theta.
  • Não há valores numéricos adicionais; tudo vem de estudar a função r(\theta).
    O objetivo é: entender como r varia com \theta, localizar zeros, máximos e mínimos, interpretar valores negativos de r e, a partir disso, desenhar (esboçar) a curva.

Passo 2

Noções básicas necessárias (curtinha e prática). Lembra que em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Um ponto é dado por (r,\theta).
  • Se r>0 o ponto fica na direção \theta a distância r.
  • Se r<0 o ponto fica na direção \theta+\pi com raio |r| (isto é, um sinal negativo “vira” o ângulo 180°).
  • Curvas do tipo r=f(\theta) desenham-se fazendo \theta variar e marcando os pontos correspondentes; mudanças de sinal em r costumam indicar laço(s) ou cruzamentos na origem.

Passo 3

Simetrias úteis para esboçar rápido. A dependência por \cos\theta indica simetria em torno do eixo polar (eixo x cartesiano):
  • Se a equação envolvesse \cos\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (linha \theta=0).
    Portanto o esboço será simétrico em relação ao eixo horizontal.

Passo 4

Encontrar onde r=0 (pontos onde a curva cruza a origem). Resolver
1-3\cos\theta=0 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\tfrac{1}{3}.
As soluções principais são
\theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Valores numéricos aproximados:
\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx1{,}23096\\ \text{rad}\approx70{,}53^\circ.
Logo a curva passa pela origem em \theta\approx\pm1{,}23096\\ \text{rad}.

Passo 5

Estudo de valores-chave de r(\theta). Vou calcular r em ângulos comuns para entender a forma (coloquei os cálculos explicitamente para você poder repetir na prova):
\begin{aligned} \theta=0:\quad & r=1-3\cos 0=1-3\cdot1= -2.\\\ \theta=\tfrac{\pi}{6}:\quad & r=1-3\cos\!\tfrac{\pi}{6}=1-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx -1{,}598.\\\ \theta=\tfrac{\pi}{3}:\quad & r=1-3\cos\!\tfrac{\pi}{3}=1-3\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.\\\ \theta=\tfrac{\pi}{2}:\quad & r=1-3\cos\!\tfrac{\pi}{2}=1-3\cdot0=1.\\\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}:\quad & r=1-3\cos\!\tfrac{2\pi}{3}=1-3\cdot\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1+\tfrac{3}{2}=2{,}5.\\\ \theta=\pi:\quad & r=1-3\cos\pi=1-3\cdot(-1)=1+3=4.\\\ \end{aligned}
Observações rápidas: r(0)=-2 é negativo (atenção ao interpretar). Em \theta=\pi temos r=4 (o ponto mais afastado que vemos nesses cálculos).

Passo 6

Interpretação dos sinais de r e identificação do laço interior. A equação tem r<0 quando
1-3\cos\theta<0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos\theta>\tfrac{1}{3}.
Isto ocorre para ângulos \theta no intervalo aberto (-\operatorname{arccos}(1/3),\;\operatorname{arccos}(1/3)) ao redor de 0. Portanto:
  • Para \theta próximos de 0 temos r<0. Isso significa que os pontos gerados quando \theta está nesse intervalo aparecem no lado oposto (ângulo \theta+\pi) formando um laço interno relativamente pequeno.
  • Para \theta fora desse intervalo, r>0 e descrevemos a “parte externa” da curva.
Assim a forma geral é a de um limaçon com laço interior (porque |3|>|1|, i.e., o coeficiente multiplicando \cos é maior que o termo constante).

Passo 7

Localizar extremos radiais (máximos e mínimos de r). Derivo mentalmente: r'(\theta)=3\sin\theta.
  • r'(\theta)=0 quando \sin\theta=0, ou seja \theta=0 e \theta=\pi (entre 0 e 2\pi são os pontos críticos principais).
    Valores nesses pontos já calculados:
r(0)=-2\quad(\text{mínimo de }r), \qquad r(\pi)=4\quad(\text{máximo de }r).íá
O mínimo negativo confirma a existência do laço interno; o máximo em \theta=\pi indica o ponto mais externo, a distância máxima do polo é 4.

Passo 8

Procedimento prático de esboço passo a passo (faça junto no papel; eu explico cada etapa):
  1. Trace os eixos cartesianos e marque o eixo polar (eixo x) — lembrando que a curva é simétrica em relação a esse eixo.
  2. Marque os ângulos principais \theta=0,\\ \pm\operatorname{arccos}(1/3),\\ \tfrac{\pi}{6},\\ \tfrac{\pi}{3},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{2\pi}{3},\\ \pi, etc.
  3. No eixo polar ( \theta=0) calcule r(0)=-2. Como r é negativo, coloque um ponto no eixo oposto ( \theta=\pi) a distância 2 do polo (ou seja o ponto (r,\theta)=(2,\pi) em coordenadas positivas).
  4. Marque os pontos computados em Passo 5:
    • Em \theta=\tfrac{\pi}{2} coloque r=1.
    • Em \theta=\tfrac{2\pi}{3} coloque r=2{,}5.
    • Em \theta=\pi coloque r=4 (ponto mais externo).
    • Faça os mesmos nas direções simétricas negativas (por exemplo \theta=-\tfrac{\pi}{2} r=1 também).
  5. Marque as interseções com o polo em \theta=\pm\operatorname{arccos}(1/3) conforme Passo 4 (esses são os pontos onde o laço toca a origem).
  6. Agora ligue os pontos suavemente: ao variar \theta de -\operatorname{arccos}(1/3) até \operatorname{arccos}(1/3) o raio é negativo — ao desenhar isso você vai traçar o laço interno do lado oposto do eixo polar. Ao sair desses ângulos e aumentar \theta até \pi o r fica positivo e cresce até 4, formando a “parte externa” maior. A simetria em relação ao eixo x fecha o desenho do outro lado.
  7. Verifique visualmente: haverá um laço pequeno que toca o polo em dois pontos (ângulos ±70{,}53°) e uma curva externa maior com ponta mais distante no sentido \theta=\pi.

Passo 9

Pequena explicação conceptual para lembrar na prova (para juntar tudo):
  • Quando a-b<0 numa forma r=a+b\cos\theta com |b|>|a| aparece laço interno. Aqui a=1, b=-3 (ou pensar r=1-3\cos\theta com |3|>|1|), logo laço interno existe.
  • Zeros de r fornecem onde a curva cruza o polo.
  • Valores onde r'<0 ou r'>0 ajudam a saber se o raio cresce ou decresce com \theta; pontos críticos ocorrem onde \sin\theta=0.

Passo 10

Resumo numérico e pontos-chave que devem aparecer no seu esboço:
\begin{aligned} &\text{Interseções com o polo: }\theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx\pm1{,}23096\\ \text{rad}.\\\ &\text{Valor em } \theta=0:\\ r(0)=-2\\ \text{(equivale ao ponto }(2,\pi)\text{).}\\\ &\text{Valor em } \theta=\tfrac{\pi}{2}:\\ r=1.\\\ &\text{Valor em } \theta=\pi:\\ r=4\\ (\text{ponto mais afastado}).\\\ &\text{Simetria: em relação ao eixo polar (eixo }x\text{).}\\\ &\text{Forma: limaçon com laço interior.} \end{aligned}çõçã̧ç

Resposta

Limaçon com laço interior, simétrica em relação ao eixo polar. Zeros em \theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx\pm1{,}23096\\ \text{rad}. r(0)=-2 (equivalente ao ponto (r,\theta)=(2,\pi)), r(\tfrac{\pi}{2})=1, r(\pi)=4 (ponto mais distante). Esboçar ligando esses pontos gera o laço pequeno que toca a origem duas vezes e a curva externa com ponta em \theta=\pi.

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