Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O que o problema pede e o que ele dá. O enunciado dá a curva polar
e pede para esboçá-la. As informações relevantes que temos:
- A equação relaciona a distância radial
ao ângulo polar . - Não há valores numéricos adicionais; tudo vem de estudar a função
.
O objetivo é: entender comovaria com , localizar zeros, máximos e mínimos, interpretar valores negativos de e, a partir disso, desenhar (esboçar) a curva.
Passo 2
Noções básicas necessárias (curtinha e prática). Lembra que em coordenadas polares:
- Um ponto é dado por
. - Se
o ponto fica na direção a distância . - Se
o ponto fica na direção com raio (isto é, um sinal negativo “vira” o ângulo 180°). - Curvas do tipo
desenham-se fazendo variar e marcando os pontos correspondentes; mudanças de sinal em costumam indicar laço(s) ou cruzamentos na origem.
Passo 3
Simetrias úteis para esboçar rápido. A dependência por
indica simetria em torno do eixo polar (eixo
cartesiano):
- Se a equação envolvesse
, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (linha ).
Portanto o esboço será simétrico em relação ao eixo horizontal.
Passo 4
Encontrar onde
(pontos onde a curva cruza a origem). Resolver
As soluções principais são
Valores numéricos aproximados:
Logo a curva passa pela origem em
.
Passo 5
Estudo de valores-chave de
. Vou calcular
em ângulos comuns para entender a forma (coloquei os cálculos explicitamente para você poder repetir na prova):
Observações rápidas:
é negativo (atenção ao interpretar). Em
temos
(o ponto mais afastado que vemos nesses cálculos).
Passo 6
Interpretação dos sinais de
e identificação do laço interior. A equação tem
quando
Isto ocorre para ângulos
no intervalo aberto
ao redor de
. Portanto:
- Para
próximos de temos . Isso significa que os pontos gerados quando está nesse intervalo aparecem no lado oposto (ângulo ) formando um laço interno relativamente pequeno. - Para
fora desse intervalo, e descrevemos a “parte externa” da curva.
Assim a forma geral é a de um limaçon com laço interior (porque
, i.e., o coeficiente multiplicando
é maior que o termo constante).
Passo 7
Localizar extremos radiais (máximos e mínimos de
). Derivo mentalmente:
.
-
quando , ou seja e (entre e são os pontos críticos principais).
Valores nesses pontos já calculados:
O mínimo negativo confirma a existência do laço interno; o máximo em
indica o ponto mais externo, a distância máxima do polo é
.
Passo 8
Procedimento prático de esboço passo a passo (faça junto no papel; eu explico cada etapa):
- Trace os eixos cartesianos e marque o eixo polar (eixo
) — lembrando que a curva é simétrica em relação a esse eixo. - Marque os ângulos principais
, etc. - No eixo polar (
) calcule . Como é negativo, coloque um ponto no eixo oposto ( ) a distância do polo (ou seja o ponto em coordenadas positivas). - Marque os pontos computados em Passo 5:
- Em
coloque . - Em
coloque . - Em
coloque (ponto mais externo). - Faça os mesmos nas direções simétricas negativas (por exemplo
dá também).
- Em
- Marque as interseções com o polo em
conforme Passo 4 (esses são os pontos onde o laço toca a origem). - Agora ligue os pontos suavemente: ao variar
de até o raio é negativo — ao desenhar isso você vai traçar o laço interno do lado oposto do eixo polar. Ao sair desses ângulos e aumentar até o fica positivo e cresce até , formando a “parte externa” maior. A simetria em relação ao eixo fecha o desenho do outro lado. - Verifique visualmente: haverá um laço pequeno que toca o polo em dois pontos (ângulos ±70{,}53°) e uma curva externa maior com ponta mais distante no sentido
.
Passo 9
Pequena explicação conceptual para lembrar na prova (para juntar tudo):
- Quando
numa forma com aparece laço interno. Aqui , (ou pensar com ), logo laço interno existe. - Zeros de
fornecem onde a curva cruza o polo. - Valores onde
ou ajudam a saber se o raio cresce ou decresce com ; pontos críticos ocorrem onde .
Passo 10
Resumo numérico e pontos-chave que devem aparecer no seu esboço:
Resposta
Limaçon com laço interior, simétrica em relação ao eixo polar. Zeros em
.
(equivalente ao ponto
),
,
(ponto mais distante). Esboçar ligando esses pontos gera o laço pequeno que toca a origem duas vezes e a curva externa com ponta em
.