Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=\sin \theta

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação r=\sin\theta.
Informações fornecidas:
  • A equação polar é r=\sin\theta.
  • As variáveis são r (distância ao polo) e \theta (ângulo medido a partir do eixo polar).
  • O objetivo é obter uma descrição geométrica da curva (o gráfico) que permita desenhá-la à mão na prova.

Passo 2

Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (essas são as fórmulas que sempre uso para passar de polar para cartesiano):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2.
Essas fórmulas significam: x é a componente horizontal do ponto, y a componente vertical, e r é a distância do ponto à origem.

Passo 3

Para identificar geometricamente a curva eu vou eliminar o parâmetro \theta e expressar tudo em x e y. Parto da equação dada:
r = \sin\theta.
Multiplico ambos os lados por r:
r^2 = r\sin\theta.
Agora substituo usando as fórmulas do passo anterior: r^2 = x^2+y^2 e r\sin\theta = y. Assim:
x^2+y^2 = y.

Passo 4

Reescrevo a equação obtida para colocar em forma reconhecível. Subtraio y dos dois lados:
x^2 + y^2 - y = 0.
Agora completo o quadrado na variável y. O termo linear em y é -y; metade disso é -\tfrac{1}{2} e o quadrado é \tfrac{1}{4}. Então adiciono e subtraio \tfrac{1}{4}:
x^2 + \bigl(y^2 - y + \tfrac{1}{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}.
O parêntese é agora um quadrado perfeito:
x^2 + \bigl(y - \tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

A equação
x^2 + \bigl(y - \tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4}
é a equação cartesiana de um círculo com centro em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) e raio \tfrac{1}{2}. Ou seja:
  • Centro: \left(0,\tfrac{1}{2}\right).
  • Raio: \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação em termos polares (para saber qual parte do círculo é desenhada e em que sentido):
  • Como \sin\theta varia entre -1 e 1, temos r=\sin\theta variando entre -1 e 1. No entanto, na prática usual de esboço em coordenadas polares tomamos r\ge 0 e permitimos \theta variar; portanto os valores relevantes ocorrem quando \sin\theta\ge 0, isto é \theta\in[0,\pi]. Nessa faixa r vai de 0 (em \theta=0) até 1 (em \theta=\tfrac{\pi}{2}) e volta a 0 (em \theta=\pi).
  • Quando \theta percorre [0,\pi], a curva é percorrida exatamente uma vez. Para \theta fora de [0,\pi] a fórmula dá r<0 e isso representa os mesmos pontos com ângulo deslocado por \pi, não é necessário usar isso para o esboço básico.

Passo 7

Pontos notáveis e diretriz para desenhar:
  • Em \theta=0: r=\sin 0 = 0 → ponto \,(0,0)\, (o polo).
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2}: r=\sin\tfrac{\pi}{2}=1 → ponto cartesiano \,(0,1)\,.
  • Em \theta=\pi: r=\sin\pi=0 → volta ao polo \,(0,0)\,.
  • Portanto o círculo toca o polo em (0,0) (ponto inferior) e tem ponto superior em (0,1). O círculo está inteiramente acima do eixo x, com 0\le y\le 1.
Um ponto médio para checar: \theta=\tfrac{\pi}{6} r=\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}. Coordenadas:
x=r\cos\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \qquad y=r\sin\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},
que de fato satisfaz a equação do círculo x^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{4} (verificação rápida se quiser na prova).

Passo 8

Como esboçar na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos cartesianos.
  2. Marque o centro em \left(0,\tfrac{1}{2}\right).
  3. Desenhe um círculo de raio \tfrac{1}{2} centrado aí (círculo pequeno que toca a origem e atinge y=1 no topo).
  4. Indique que o traço é feito para \theta aumentando de 0 a \pi (sentido anti-horário do polo até o topo e de volta ao polo).
  5. Opcional: marque os pontos (0,0) e (0,1) e um ponto como \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{4},\tfrac{1}{4}\bigr) para orientar a forma.

Resposta

Circunferência de centro \left(0,\tfrac{1}{2}\right) e raio \tfrac{1}{2}, inteira no semiplano y\ge 0, tocando a origem (0,0) e com ponto superior em (0,1). A curva é traçada uma vez quando \theta varia em [0,\pi].

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