Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
.
Informações fornecidas:
- A equação polar é
. - As variáveis são
(distância ao polo) e (ângulo medido a partir do eixo polar). - O objetivo é obter uma descrição geométrica da curva (o gráfico) que permita desenhá-la à mão na prova.
Passo 2
Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (essas são as fórmulas que sempre uso para passar de polar para cartesiano):
Essas fórmulas significam:
é a componente horizontal do ponto,
a componente vertical, e
é a distância do ponto à origem.
Passo 3
Para identificar geometricamente a curva eu vou eliminar o parâmetro
e expressar tudo em
e
. Parto da equação dada:
Multiplico ambos os lados por
:
Agora substituo usando as fórmulas do passo anterior:
e
. Assim:
Passo 4
Reescrevo a equação obtida para colocar em forma reconhecível. Subtraio
dos dois lados:
Agora completo o quadrado na variável
. O termo linear em
é
; metade disso é
e o quadrado é
. Então adiciono e subtraio
:
O parêntese é agora um quadrado perfeito:
Passo 5
A equação
é a equação cartesiana de um círculo com centro em
e raio
. Ou seja:
- Centro:
. - Raio:
.
Passo 6
Interpretação em termos polares (para saber qual parte do círculo é desenhada e em que sentido):
- Como
varia entre e , temos variando entre e . No entanto, na prática usual de esboço em coordenadas polares tomamos e permitimos variar; portanto os valores relevantes ocorrem quando , isto é . Nessa faixa vai de (em ) até (em ) e volta a (em ). - Quando
percorre , a curva é percorrida exatamente uma vez. Para fora de a fórmula dá e isso representa os mesmos pontos com ângulo deslocado por , não é necessário usar isso para o esboço básico.
Passo 7
Pontos notáveis e diretriz para desenhar:
- Em
: → ponto (o polo). - Em
: → ponto cartesiano . - Em
: → volta ao polo . - Portanto o círculo toca o polo em
(ponto inferior) e tem ponto superior em . O círculo está inteiramente acima do eixo , com .
Um ponto médio para checar:
dá
. Coordenadas:
que de fato satisfaz a equação do círculo
(verificação rápida se quiser na prova).
Passo 8
Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos cartesianos.
- Marque o centro em
. - Desenhe um círculo de raio
centrado aí (círculo pequeno que toca a origem e atinge no topo). - Indique que o traço é feito para
aumentando de a (sentido anti-horário do polo até o topo e de volta ao polo). - Opcional: marque os pontos
e e um ponto como para orientar a forma.
Resposta
Circunferência de centro
e raio
, inteira no semiplano
, tocando a origem
e com ponto superior em
. A curva é traçada uma vez quando
varia em
.