Para o exercício abaixo, use o vetor aceleração
e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor
em
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A aceleração vetorial é
. - Condições iniciais:
e . - Pedido: determinar o vetor posição em
, ou seja .
Passo 2
Ideia e regra básica (passo a passo): a aceleração é a derivada do vetor velocidade e a velocidade é a derivada do vetor posição. Portanto para obter
integra-se
componente a componente; para obter
integra-se
componente a componente. Ao integrar aparecem constantes de integração (uma constante por componente), que determinamos com as condições iniciais. Vou fazer isso de forma explícita e mostrando cada integral.
Passo 3
Integração de
para obter
. Escrevendo componente a componente:
Integrando cada componente em função de
:
onde
são constantes de integração (uma para cada componente). Assim a forma geral da velocidade é
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para encontrar
.
Avalia-se em
:
Avalia-se
Como
e
, isto é
Comparando com
obtemos as equações:
Portanto
Passo 5
Agora integramos
para obter
. Integração componente a componente:
onde
são novas constantes de integração. Assim a posição geral é
(Verificação rápida: derivando
dá
, derivando
dá
, derivando
dá
, conforme esperado.)
Passo 6
Determinar
usando
. Avaliando
em
:
Como
e
, isto é
Comparando com
obtemos:
Portanto a solução para a posição é
Passo 7
Interpretação rápida e checagem: a componente
é linear porque não havia aceleração nessa direção (aceleração
em
), então a velocidade nessa direção ficou constante
e a posição acumulou
. As componentes
formam a trajetória circular clássica
. Tudo consistente com as integrais anteriores.