Para o exercício abaixo, use o vetor aceleração \mathbf{a}(t) e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor \mathbf{r}(t) em t=2.
\mathbf{a}(t)=-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j}, \quad \mathbf{v}(0)=\mathbf{j}+\mathbf{k}, \quad \mathbf{r}(0)=\mathbf{i}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A aceleração vetorial é \mathbf{a}(t) = -\cos t\,\mathbf{i} - \sin t\,\mathbf{j}.
  • Condições iniciais: \mathbf{v}(0)=\mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{r}(0)=\mathbf{i}.
  • Pedido: determinar o vetor posição em t=2, ou seja \mathbf{r}(2).

Passo 2

Ideia e regra básica (passo a passo): a aceleração é a derivada do vetor velocidade e a velocidade é a derivada do vetor posição. Portanto para obter \mathbf{v}(t) integra-se \mathbf{a}(t) componente a componente; para obter \mathbf{r}(t) integra-se \mathbf{v}(t) componente a componente. Ao integrar aparecem constantes de integração (uma constante por componente), que determinamos com as condições iniciais. Vou fazer isso de forma explícita e mostrando cada integral.

Passo 3

Integração de \mathbf{a}(t) para obter \mathbf{v}(t). Escrevendo componente a componente:
\mathbf{a}(t)=\big(-\cos t\big)\mathbf{i}+\big(-\sin t\big)\mathbf{j}+0\mathbf{k}.
Integrando cada componente em função de t:
\int -\cos t\,dt = -\sin t + C_1, \qquad \int -\sin t\,dt = \cos t + C_2, \qquad \int 0\,dt = C_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes de integração (uma para cada componente). Assim a forma geral da velocidade é
\mathbf{v}(t)=\big(-\sin t + C_1\big)\mathbf{i}+\big(\cos t + C_2\big)\mathbf{j}+C_3\mathbf{k}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial \mathbf{v}(0)=\mathbf{j}+\mathbf{k} para encontrar C_1,C_2,C_3.
Avalia-se \mathbf{v}(t) em t=0:
\mathbf{v}(0)=\big(-\sin 0 + C_1\big)\mathbf{i}+\big(\cos 0 + C_2\big)\mathbf{j}+C_3\mathbf{k}.
Como \sin 0=0 e \cos 0=1, isto é
\mathbf{v}(0)=C_1\mathbf{i}+(1+C_2)\mathbf{j}+C_3\mathbf{k}.
Comparando com \mathbf{v}(0)=\mathbf{j}+\mathbf{k} obtemos as equações:
C_1=0,\qquad 1+C_2=1 \Rightarrow C_2=0,\qquad C_3=1.
Portanto
\mathbf{v}(t) = -\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j} + 1\cdot\mathbf{k}.

Passo 5

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t). Integração componente a componente:
\int -\sin t\,dt = \cos t + D_1, \qquad \int \cos t\,dt = \sin t + D_2, \qquad \int 1\,dt = t + D_3,
onde D_1,D_2,D_3 são novas constantes de integração. Assim a posição geral é
\mathbf{r}(t)=\big(\cos t + D_1\big)\mathbf{i}+\big(\sin t + D_2\big)\mathbf{j}+\big(t + D_3\big)\mathbf{k}.
(Verificação rápida: derivando \cos t -\sin t, derivando \sin t \cos t, derivando t 1, conforme esperado.)

Passo 6

Determinar D_1,D_2,D_3 usando \mathbf{r}(0)=\mathbf{i}. Avaliando \mathbf{r}(t) em t=0:
\mathbf{r}(0)=\big(\cos 0 + D_1\big)\mathbf{i}+\big(\sin 0 + D_2\big)\mathbf{j}+\big(0 + D_3\big)\mathbf{k}.
Como \cos 0=1 e \sin 0=0, isto é
\mathbf{r}(0)=(1+D_1)\mathbf{i}+D_2\mathbf{j}+D_3\mathbf{k}.
Comparando com \mathbf{r}(0)=\mathbf{i} obtemos:
1+D_1=1 \Rightarrow D_1=0,\qquad D_2=0,\qquad D_3=0.
Portanto a solução para a posição é
\mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: a componente k é linear porque não havia aceleração nessa direção (aceleração =0 em k), então a velocidade nessa direção ficou constante 1 e a posição acumulou t. As componentes i,j formam a trajetória circular clássica (\cos t,\sin t). Tudo consistente com as integrais anteriores.

Resposta

\cos 2\,\mathbf{i} + \sin 2\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}

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