Calcule a integral definida da seguinte função vetorial:
\int_{1}^{4}\left(2 t^{3 / 2} \mathbf{i}+(t+1) \sqrt{t} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(2 t^{3/2}\,\mathbf{i} + (t+1)\sqrt{t}\,\mathbf{k}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é uma função vetorial com duas componentes não nulas: a componente na direção \mathbf{i} é 2 t^{3/2} e a componente na direção \mathbf{k} é (t+1)\sqrt{t}.
  • O intervalo de integração é de t=1 até t=4.
    O que se pede: calcular a integral definida dessa função vetorial no intervalo dado.

Passo 2

Regra que vamos usar (sem provar aqui, só usar como ferramenta): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
\int_{1}^{4}\big(f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{1}^{4}f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{1}^{4}g(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Então basta calcular separadamente as integrais escalares \int_{1}^{4}2 t^{3/2}\,dt e \int_{1}^{4}(t+1)\sqrt{t}\,dt.

Passo 3

Preparar as integrais escalares:
I_{\mathbf{i}}=\int_{1}^{4}2 t^{3/2}\,dt, \qquad I_{\mathbf{k}}=\int_{1}^{4}(t+1)\sqrt{t}\,dt.

Passo 4

Calcular I_{\mathbf{i}}. Primeiro lembrar a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=\tfrac{3}{2} e lembrando que constantes fatoram:
I_{\mathbf{i}}=2\int_{1}^{4}t^{3/2}\,dt =2\left[\frac{t^{5/2}}{5/2}\right]_{1}^{4} =2\cdot\frac{2}{5}\left[t^{5/2}\right]_{1}^{4} =\frac{4}{5}\left[t^{5/2}\right]_{1}^{4}.

Passo 5

Avaliar a expressão encontrada para I_{\mathbf{i}}. Calcular t^{5/2} nos limites:
4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32,\qquad 1^{5/2}=1.
Logo
I_{\mathbf{i}}=\frac{4}{5}\big(32-1\big)=\frac{4}{5}\cdot31=\frac{124}{5}.

Passo 6

Calcular I_{\mathbf{k}}. Primeiro simplificar o integrando escrevendo \sqrt{t}=t^{1/2}:
(t+1)\sqrt{t}=t\cdot t^{1/2}+1\cdot t^{1/2}=t^{3/2}+t^{1/2}.
Logo
I_{\mathbf{k}}=\int_{1}^{4}\big(t^{3/2}+t^{1/2}\big)\,dt =\int_{1}^{4}t^{3/2}\,dt+\int_{1}^{4}t^{1/2}\,dt.

Passo 7

Aplicar a regra de potência a cada termo. Para t^{3/2} com n=\tfrac{3}{2},
\int t^{3/2}\,dt=\frac{t^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}t^{5/2}.
Para t^{1/2} com n=\tfrac{1}{2},
\int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2}.
Portanto a primitiva combinada é
\frac{2}{5}t^{5/2}+\frac{2}{3}t^{3/2},
e
I_{\mathbf{k}}=\left[\frac{2}{5}t^{5/2}+\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{1}^{4}.

Passo 8

Avaliar I_{\mathbf{k}} nos limites. Calcular as potências em t=4 e t=1:
4^{5/2}=32,\qquad 4^{3/2}=8,\qquad 1^{5/2}=1,\qquad 1^{3/2}=1.
Assim, no superior:
\frac{2}{5}\cdot 32 + \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}.
No inferior:
\frac{2}{5}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15}.
Fazendo a diferença (usar denominador comum 15):
\frac{64}{5}+\frac{16}{3}=\frac{192}{15}+\frac{80}{15}=\frac{272}{15},
I_{\mathbf{k}}=\frac{272}{15}-\frac{16}{15}=\frac{256}{15}.

Passo 9

Juntar as componentes para obter a integral vetorial:
\int_{1}^{4}\left(2 t^{3/2}\,\mathbf{i}+(t+1)\sqrt{t}\,\mathbf{k}\right)dt =I_{\mathbf{i}}\,\mathbf{i}+I_{\mathbf{k}}\,\mathbf{k} =\frac{124}{5}\,\mathbf{i}+\frac{256}{15}\,\mathbf{k}.

Resposta

\dfrac{124}{5}\mathbf{i}+\dfrac{256}{15}\mathbf{k}

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