Calcule a integral definida da seguinte função vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é uma função vetorial com duas componentes não nulas: a componente na direção
é e a componente na direção é . - O intervalo de integração é de
até .
O que se pede: calcular a integral definida dessa função vetorial no intervalo dado.
Passo 2
Regra que vamos usar (sem provar aqui, só usar como ferramenta): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
Então basta calcular separadamente as integrais escalares
e
.
Passo 3
Preparar as integrais escalares:
Passo 4
Calcular
. Primeiro lembrar a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando com
e lembrando que constantes fatoram:
Passo 5
Avaliar a expressão encontrada para
. Calcular
nos limites:
Logo
Passo 6
Calcular
. Primeiro simplificar o integrando escrevendo
:
Logo
Passo 7
Aplicar a regra de potência a cada termo. Para
com
,
Para
com
,
Portanto a primitiva combinada é
e
Passo 8
Avaliar
nos limites. Calcular as potências em
e
:
Assim, no superior:
No inferior:
Fazendo a diferença (usar denominador comum
):
Passo 9
Juntar as componentes para obter a integral vetorial: