Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=\theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\theta
e pede que a gente a esboce. Informação relevante que temos:
  • A equação relaciona o raio r com o ângulo polar \theta.
  • Não foi imposta restrição explícita em \theta; podemos considerar \theta\in\mathbb{R}, mas para esboçar normalmente usamos \theta\ge 0.
  • Queremos saber a forma da curva, pontos importantes e como desenhá‑la à mão na prova.

Passo 2

Entendendo coordenadas polares (aula rápida, calma que eu explico devagar).
  • Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (sentido anti‑horário).
  • A relação com coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r pode ser positivo, zero ou negativo; r<0 representa um ponto com raio |r| mas com ângulo \theta+\pi (isso é útil para entender r negativos).
  • No nosso caso, ao substituir r=\theta obtemos uma curva parametrizada por \theta:
x(\theta)=\theta\cos\theta,\qquad y(\theta)=\theta\sin\theta.
Isto significa que a curva é um arco cuja distância ao centro cresce linearmente com o ângulo.

Passo 3

Identificação da curva e propriedade básica.
  • A forma r=a\theta (com a>0) é a definição da espiral de Arquimedes. No nosso caso a=1, então r=\theta é a espiral de Arquimedes.
  • Uma propriedade prática muito útil para esboçar: a distância radial entre voltas consecutivas é constante. Em particular,
r(\theta+2\pi)-r(\theta)=(\theta+2\pi)-\theta=2\pi.
Isto significa que a cada volta de 2\pi o raio aumenta exatamente 2\pi — as curvas ficam igualmente espaçadas entre voltas.

Passo 4

Pontos chave para plotar (vamos calcular alguns pontos para desenhar).
Escolho ângulos fáceis: \theta=0,\\ \pi/4,\\ \pi/2,\\ \pi,\\\ 3\pi/2,\\\ 2\pi. Calculo r=\theta e depois x,y.
  • \theta=0: \;r=0. Ponto: (x,y)=(0,0) — começa na origem.
  • \theta=\pi/4: \;r=\pi/4\approx 0,785.
x=\theta\cos\theta=\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,555,
y\approx 0,555.
Ponto aproximado: (0,555,\;0,555).
  • \theta=\pi/2: \;r=\pi/2\approx 1,571.
x=\theta\cos\theta=\frac{\pi}{2}\cdot 0=0,\qquad y=\frac{\pi}{2}\cdot 1\approx 1,571.
Ponto: (0,\;1,571) (no eixo y positivo).
  • \theta=\pi: \;r=\pi\approx 3,142.
x=\pi\cos\pi=\pi\cdot(-1)\approx -3,142,\qquad y\approx 0.
Ponto: (-3,142,\;0) (no eixo x negativo, mais distante).
  • \theta=3\pi/2: \;r=3\pi/2\approx 4,712.
x\approx 0,\qquad y=3\pi/2\cdot(-1)\approx -4,712.
Ponto: (0,\;-4,712) (no eixo y negativo).
  • \theta=2\pi: \;r=2\pi\approx 6,283.
x=2\pi\cdot 1\approx 6,283,\qquad y\approx 0.
Ponto: (6,283,\;0) (no eixo x positivo, bem mais distante que em \theta=0).
Dica prática de prova: marque no papel os pontos acima (origem, distância \approx 0,785 em 45°, \approx 1,571 no eixo y, \approx 3,142 no eixo x negativo, etc.) e ligue suavemente formando uma curva em espiral.

Passo 5

Tangente e inclinação — para entender a forma local.
  • Em coordenadas polares, derivando x e y em relação a \theta:
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Logo a inclinação da curva (derivada dy/dx) é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}.
  • No nosso caso r(\theta)=\theta e r'(\theta)=1. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\theta + \theta\cos\theta}{\cos\theta - \theta\sin\theta}.
Exemplos rápidos:
  • Em \theta=0: usando expansão em série ou limite, obtém‑se \frac{dy}{dx}\to 0. Então a curva sai do origem tangente ao eixo x positivo.
  • Em \theta=\pi/2: \sin\frac{\pi}{2}=1,\\ \cos\frac{\pi}{2}=0, logo
\frac{dy}{dx}\Big|_{\theta=\pi/2}=\frac{1+(\pi/2)\cdot 0}{0-(\pi/2)\cdot 1}=-\frac{2}{\pi}\approx -0,637.
Isso diz que, ao cruzar o eixo y em y\approx 1,571, a inclinação é negativa (a curva está descendo levemente naquele trecho).

Passo 6

Comportamento para \theta\to+\infty e para \theta<0.
  • Para \theta\to+\infty, r cresce sem limite e a espiral gira indefinidamente afastando‑se do centro; como já vimos, a distância radial entre voltas é 2\pi.
  • Para \theta<0, temos r=\theta<0. Isso produz pontos que, em coordenadas polares padrão, são iguais a pontos com raio positivo |\theta| e ângulo \theta+\pi. Na prática, a curva para \theta<0 continua a mesma espiral, só que traçada para os lados correspondentes; para um esboço rápido em prova costuma bastar desenhar \theta\ge 0, a menos que peçam explicitamente toda a curva para \theta\in\mathbb{R}.

Passo 7

Como esboçar à mão na prova (passo a passo prático).
  1. Faça um sistema de eixos x,y.
  2. Marque os pontos calculados: origem; (0,555,0,555) aproximadamente em 45°; (0,1,571) no eixo y; (-3,142,0); (0,-4,712); (6,283,0).
  3. Ligue suavemente esses pontos formando uma curva que parte da origem, passa por 45° perto de r\approx 0,785, chega ao eixo y em r\approx 1,571, continua cruzando o eixo x negativo mais longe, e assim por diante — uma espiral que se abre com passos constantes entre voltas.
  4. Lembre que cada volta (aumento de \theta em 2\pi) aumenta r em 2\pi; isso ajuda a posicionar voltas seguintes mais afastadas de forma uniforme.
  5. Se quiser conferir com calculadora gráfica, verifique que o gráfico é uma espiral de Arquimedes.

Resposta

Espiral de Arquimedes dada por r=\theta. Pontos principais aproximados: (0,0), (0,555,\;0,555) para \theta=\pi/4, (0,\;1,571) para \theta=\pi/2, (-3,142,\;0) para \theta=\pi, (0,\;-4,712) para \theta=3\pi/2, (6,283,\;0) para \theta=2\pi.

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