Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=\theta
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\theta
e pede que a gente a esboce. Informação relevante que temos:
A equação relaciona o raio r com o ângulo polar \theta.
Não foi imposta restrição explícita em \theta; podemos considerar \theta\in\mathbb{R}, mas para esboçar normalmente usamos \theta\ge 0.
Queremos saber a forma da curva, pontos importantes e como desenhá‑la à mão na prova.
Passo 2
Entendendo coordenadas polares (aula rápida, calma que eu explico devagar).
Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (sentido anti‑horário).
A relação com coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r pode ser positivo, zero ou negativo; r<0 representa um ponto com raio |r| mas com ângulo \theta+\pi (isso é útil para entender r negativos).
No nosso caso, ao substituir r=\theta obtemos uma curva parametrizada por \theta:
Isto significa que a cada volta de 2\pi o raio aumenta exatamente 2\pi — as curvas ficam igualmente espaçadas entre voltas.
Passo 4
Pontos chave para plotar (vamos calcular alguns pontos para desenhar).
Escolho ângulos fáceis: \theta=0,\\ \pi/4,\\ \pi/2,\\ \pi,\\\ 3\pi/2,\\\ 2\pi. Calculo r=\theta e depois x,y.
\theta=0: \;r=0. Ponto: (x,y)=(0,0) — começa na origem.
Ponto: (6,283,\;0) (no eixo x positivo, bem mais distante que em \theta=0).
Dica prática de prova: marque no papel os pontos acima (origem, distância \approx 0,785 em 45°, \approx 1,571 no eixo y, \approx 3,142 no eixo x negativo, etc.) e ligue suavemente formando uma curva em espiral.
Passo 5
Tangente e inclinação — para entender a forma local.
Em coordenadas polares, derivando x e y em relação a \theta:
Isso diz que, ao cruzar o eixo y em y\approx 1,571, a inclinação é negativa (a curva está descendo levemente naquele trecho).
Passo 6
Comportamento para \theta\to+\infty e para \theta<0.
Para \theta\to+\infty, r cresce sem limite e a espiral gira indefinidamente afastando‑se do centro; como já vimos, a distância radial entre voltas é 2\pi.
Para \theta<0, temos r=\theta<0. Isso produz pontos que, em coordenadas polares padrão, são iguais a pontos com raio positivo |\theta| e ângulo \theta+\pi. Na prática, a curva para \theta<0 continua a mesma espiral, só que traçada para os lados correspondentes; para um esboço rápido em prova costuma bastar desenhar \theta\ge 0, a menos que peçam explicitamente toda a curva para \theta\in\mathbb{R}.
Passo 7
Como esboçar à mão na prova (passo a passo prático).
Faça um sistema de eixos x,y.
Marque os pontos calculados: origem; (0,555,0,555) aproximadamente em 45°; (0,1,571) no eixo y; (-3,142,0); (0,-4,712); (6,283,0).
Ligue suavemente esses pontos formando uma curva que parte da origem, passa por 45° perto de r\approx 0,785, chega ao eixo y em r\approx 1,571, continua cruzando o eixo x negativo mais longe, e assim por diante — uma espiral que se abre com passos constantes entre voltas.
Lembre que cada volta (aumento de \theta em 2\pi) aumenta r em 2\pi; isso ajuda a posicionar voltas seguintes mais afastadas de forma uniforme.
Se quiser conferir com calculadora gráfica, verifique que o gráfico é uma espiral de Arquimedes.
Resposta
Espiral de Arquimedes dada por r=\theta. Pontos principais aproximados: (0,0), (0,555,\;0,555) para \theta=\pi/4, (0,\;1,571) para \theta=\pi/2, (-3,142,\;0) para \theta=\pi, (0,\;-4,712) para \theta=3\pi/2, (6,283,\;0) para \theta=2\pi.