Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=\operatorname{sen}(\theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares pela fórmula \;r=\sin(\theta)\; e pede que eu esboce essa curva.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de r em função de \theta é \;r=\sin(\theta)\;.
  • A variável \theta é o ângulo polar, que normalmente varia por exemplo em [0,2\pi).
  • Não foram dadas restrições explícitas sobre o intervalo de \theta; portanto devo analisar como a curva se comporta ao variar \theta e descrever/traçar o esboço.

Passo 2

Lembrete rápido (passo-a-passo) sobre coordenadas polares e como passar para coordenadas cartesianas — isso vai me ajudar a reconhecer a forma geométrica:
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta),
e também
r^2 = x^2 + y^2.
  • Observação sobre valores negativos de r: se para algum \theta a expressão dá r<0, isso significa que o ponto fica na direção \theta+\pi com distância |r|. Mas uma abordagem prática é transformar a equação para cartesiano: a equação cartesiana não “vê” sinal de r, então ela descreve a curva geométrica completa.

Passo 3

Transformo a equação polar dada para uma equação em x,y. Começo com
r=\sin(\theta).
Multiplico ambos os lados por r (isso é válido, estamos apenas reescrevendo em termos de r^2):
r^2 = r\sin(\theta).
Agora uso r^2 = x^2 + y^2 e r\sin(\theta) = y. Substituindo:
x^2 + y^2 = y.

Passo 4

Vou manipular a equação cartesiana para reconhecer a figura (completar o quadrado):
x^2 + y^2 = y \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - y = 0.
Reescrevo os termos em y agrupados e completo o quadrado:
x^2 + \bigl(y^2 - y\bigr) = 0.
Para completar o quadrado em y^2 - y, lembro que \;y^2 - y = y^2 - y + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4} = (y - \tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{4}\;. Assim,
x^2 + \bigl((y-\tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{4}\bigr) = 0.
Isolando o quadrado,
x^2 + (y-\tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Interpretação geométrica imediata: a equação
x^2 + \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2
é a equação de um círculo de centro (0,\tfrac{1}{2}) e raio \tfrac{1}{2}. Portanto a curva polar r=\sin(\theta) representa esse círculo. Observações importantes:
  • O círculo está totalmente acima do eixo x (pois o centro tem y=\tfrac{1}{2} e o raio é \tfrac{1}{2}), e ele toca a origem (0,0) pela parte inferior.
  • O ponto superior do círculo é (0,1) (centro (0,\tfrac{1}{2}) mais raio \tfrac{1}{2} no sentido +y).
  • O círculo é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 6

Agora explico como a curva é traçada quando vario \theta, para saber que parte do círculo aparece ao variar \theta em intervalos usuais:
  • Para \theta\in[0,\pi], temos \sin(\theta)\ge 0, logo r=\sin(\theta)\ge 0. Nessa faixa de \theta o parâmetro r é não-negativo e o ponto (r,\theta) percorre o círculo uma vez. Mais especificamente:
    • Em \theta=0: \;r=\sin(0)=0, ponto na origem (0,0) (borda inferior do círculo).
    • Em \theta=\tfrac{\pi}{2}: \;r=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1, ponto (0,1) (topo do círculo).
    • Em \theta=\pi: \;r=\sin(\pi)=0, volta à origem.
      Assim, ao aumentar \theta de 0 até \pi o ponto sai da origem, sobe pela parte direita e esquerda do círculo até o topo e volta à origem traçando todo o círculo.
  • Para \theta\in(\pi,2\pi), \sin(\theta)\le 0, então r\le 0. Valores de r negativos correspondem a pontos na direção \theta+\pi com raio |r|; isso produz exatamente os mesmos pontos do círculo já obtidos para \theta\in[0,\pi]. Em outras palavras, a parametrização com todo \theta\in[0,2\pi) apenas repete o mesmo círculo (não cria nada novo).

Passo 7

Consequências práticas para o esboço (como desenhar sem calculadora):
  • Desenhe o eixo cartesiano. Marque o centro do círculo em (0,\tfrac{1}{2}). Trace um círculo de raio \tfrac{1}{2} em torno desse centro. O resultado é um pequeno círculo tangente ao eixo x na origem e com topo em (0,1).
  • Se quiser indicar a orientação (sentido de varredura) coloque uma seta no círculo indicando que, ao aumentar \theta de 0 a \pi, o ponto vai da origem para o topo (0,1) e volta à origem, isto é, percorre o círculo no sentido anti-horário uma vez.

Resposta

Círculo de equação \;x^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=(\tfrac{1}{2})^2\;, isto é, centro (0,\tfrac{1}{2}) e raio \tfrac{1}{2}; a curva é percorrida uma vez quando \theta varia de 0 a \pi (começa em (0,0), passa por (0,1) em \theta=\tfrac{\pi}{2} e volta a (0,0) em \theta=\pi).

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