Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=\operatorname{sen}(\theta)
r=\operatorname{sen}(\theta)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares pela fórmula
e pede que eu esboce essa curva.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
em função de é . - A variável
é o ângulo polar, que normalmente varia por exemplo em . - Não foram dadas restrições explícitas sobre o intervalo de
; portanto devo analisar como a curva se comporta ao variar e descrever/traçar o esboço.
Passo 2
Lembrete rápido (passo-a-passo) sobre coordenadas polares e como passar para coordenadas cartesianas — isso vai me ajudar a reconhecer a forma geométrica:
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
, onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
e também
- Observação sobre valores negativos de
: se para algum a expressão dá , isso significa que o ponto fica na direção com distância . Mas uma abordagem prática é transformar a equação para cartesiano: a equação cartesiana não “vê” sinal de , então ela descreve a curva geométrica completa.
Passo 3
Transformo a equação polar dada para uma equação em
. Começo com
Multiplico ambos os lados por
(isso é válido, estamos apenas reescrevendo em termos de
):
Agora uso
e
. Substituindo:
Passo 4
Vou manipular a equação cartesiana para reconhecer a figura (completar o quadrado):
Reescrevo os termos em
agrupados e completo o quadrado:
Para completar o quadrado em
, lembro que
. Assim,
Isolando o quadrado,
Passo 5
Interpretação geométrica imediata: a equação
é a equação de um círculo de centro
e raio
. Portanto a curva polar
representa esse círculo. Observações importantes:
- O círculo está totalmente acima do eixo
(pois o centro tem e o raio é ), e ele toca a origem pela parte inferior. - O ponto superior do círculo é
(centro mais raio no sentido ). - O círculo é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 6
Agora explico como a curva é traçada quando vario
, para saber que parte do círculo aparece ao variar
em intervalos usuais:
- Para
, temos , logo . Nessa faixa de o parâmetro é não-negativo e o ponto percorre o círculo uma vez. Mais especificamente: - Em
: , ponto na origem (borda inferior do círculo). - Em
: , ponto (topo do círculo). - Em
: , volta à origem.
Assim, ao aumentarde até o ponto sai da origem, sobe pela parte direita e esquerda do círculo até o topo e volta à origem traçando todo o círculo.
- Em
- Para
, , então . Valores de negativos correspondem a pontos na direção com raio ; isso produz exatamente os mesmos pontos do círculo já obtidos para . Em outras palavras, a parametrização com todo apenas repete o mesmo círculo (não cria nada novo).
Passo 7
Consequências práticas para o esboço (como desenhar sem calculadora):
- Desenhe o eixo cartesiano. Marque o centro do círculo em
. Trace um círculo de raio em torno desse centro. O resultado é um pequeno círculo tangente ao eixo na origem e com topo em . - Se quiser indicar a orientação (sentido de varredura) coloque uma seta no círculo indicando que, ao aumentar
de a , o ponto vai da origem para o topo e volta à origem, isto é, percorre o círculo no sentido anti-horário uma vez.
Resposta
Círculo de equação
, isto é, centro
e raio
; a curva é percorrida uma vez quando
varia de
a
(começa em
, passa por
em
e volta a
em
).