Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=1-3 \cos (\theta)
r=1-3 \cos (\theta)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
. Informações que temos do enunciado:
- A equação polar é
. - Queremos um esboço (figura), então precisamos de pontos e informações qualitativas (simetria, onde
é zero, máximos, mínimos, direção do laço interno etc.). - Vamos trabalhar no intervalo usual
para traçar a curva completa.
Passo 2
Relembrando o que é polar e como desenhar: cada ponto é dado por um par
onde
Importante: se
em
, o ponto corresponde ao valor
na direção
(ou seja, apontamos no sentido oposto). Na hora de esboçar, isso é crucial: valores negativos de
significam que o ponto vai para o lado oposto ao ângulo
.
Passo 3
Simetria da curva: como aparece
, temos
ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo
em coordenadas cartesianas). Isso ajuda: podemos desenhar para
e refletir em relação ao eixo
.
Passo 4
Valores extremos de
: como
,
- máximo de
ocorre quando , então
- mínimo de
ocorre quando , então
O fato de
indica presença de um laço interno (loop) — típica forma chamada “limaçon com laço interno”.
Passo 5
Pontos em que a curva passa pela origem (polo): resolver
:
Logo
Entre esses ângulos (isto é, para
) temos
, logo
: esses valores de
produzem o laço interno (mas, por causa do sinal negativo, os pontos efetivamente aparecem do outro lado, com direções
).
Passo 6
Tabela de pontos notáveis (calculei
e após isso usei
,
quando útil). Vou escolher ângulos fáceis para plotar:
-
: . Como , o ponto é no sentido com distância . Coordenada: . -
( ): . Como , o ponto vai para . Coordenadas aproximadas: . -
( ): . Coordenadas: . -
: (origem). -
( ): . Coordenadas: . -
( ): . Coordenadas: , . -
: . Coordenadas: — é o ponto mais longe da origem. -
: . Coordenadas: . - E simetricamente os pontos para
acompanham o resto da curva (e basta refletir).
Esses pontos são suficientes para traçar o esqueleto: origem (interseções), pontos interiores do laço (valores de
pequenos com
), e os pontos externos (por exemplo
e os pontos em
=
).
Passo 7
Entendendo como a curva é traçada conforme
cresce (orientação):
- Para
começamos em (porque em ). - Ao aumentar
até temos , então a parte do laço interno é desenhada (essa parte fica do lado esquerdo do plano por causa da inversão de direção). - Em
a curva atinge o polo (origem). - Para
maiores, e a curva vai para fora formando a parte externa do limaçon até o máximo em (ponto ). - Continuando para
a curva fecha e, por simetria, fecha o outro lado do laço.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar (passo a passo na folha, sem calculadora):
- Desenhe e marque os eixos
e e o polo (origem). - Marque os pontos notáveis em coordenadas cartesianas:
, , , e a origem. - Marque também os pontos intermediários calculados, por exemplo
e , para guiar a curvatura. - Ligue suavemente os pontos respeitando a simetria em relação ao eixo
. Lembre-se: entre e o valor de é negativo — isso gera o laço interno que aparece na metade esquerda do plano. - Adicione setas indicando o sentido de crescimento de
(geralmente o sentido anti-horário): começando em , a curva trabalha o laço interno, passa pelo polo, forma a volta externa até e volta para fechar.
Passo 9
Características finais que ajudam a conferir com uma calculadora gráfica:
- A curva é um limaçon com laço interno (porque
). - Interseções com o polo:
. - Máximo radial:
em (ponto ). - Valor negativo mínimo:
em (ponto correspondente ). - Simetria em relação ao eixo
.
Resposta
Limaçon com laço interno.
Interseções com o polo: .
Máximo em
(ponto
).
Valor negativo em
(ponto
).
Pontos úteis: em
e
em
.
Interseções com o polo:
Máximo
Valor negativo
Pontos úteis: