Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=1-3 \cos (\theta)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação r=1-3\cos(\theta). Informações que temos do enunciado:
  • A equação polar é r=1-3\cos(\theta).
  • Queremos um esboço (figura), então precisamos de pontos e informações qualitativas (simetria, onde r é zero, máximos, mínimos, direção do laço interno etc.).
  • Vamos trabalhar no intervalo usual \theta\in[0,2\pi) para traçar a curva completa.

Passo 2

Relembrando o que é polar e como desenhar: cada ponto é dado por um par (r,\theta) onde
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta).
Importante: se r<0 em (r,\theta), o ponto corresponde ao valor |r| na direção \theta+\pi (ou seja, apontamos no sentido oposto). Na hora de esboçar, isso é crucial: valores negativos de r significam que o ponto vai para o lado oposto ao ângulo \theta.

Passo 3

Simetria da curva: como aparece \cos(\theta), temos
r(\!-\theta)=1-3\cos(-\theta)=1-3\cos(\theta)=r(\theta),
ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x em coordenadas cartesianas). Isso ajuda: podemos desenhar para \theta\in[0,\pi] e refletir em relação ao eixo x.

Passo 4

Valores extremos de r: como \cos(\theta)\in[-1,1],
  • máximo de r ocorre quando \cos(\theta)=-1, então
r_{\max}=1-3(-1)=4\quad\text{em }\theta=\pi.
  • mínimo de r ocorre quando \cos(\theta)=1, então
r_{\min}=1-3(1)=-2\quad\text{em }\theta=0.
O fato de r_{\min}<0 indica presença de um laço interno (loop) — típica forma chamada “limaçon com laço interno”.

Passo 5

Pontos em que a curva passa pela origem (polo): resolver r=0:
1-3\cos(\theta)=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(\theta)=\frac{1}{3}.
Logo
\theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx\pm 1,23096\\ \text{rad}\quad(\approx 70,53^\circ).
Entre esses ângulos (isto é, para \theta\in\big(-\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{3}),\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{3})\big)) temos \cos(\theta)>\tfrac{1}{3}, logo r<0: esses valores de \theta produzem o laço interno (mas, por causa do sinal negativo, os pontos efetivamente aparecem do outro lado, com direções \theta+\pi).

Passo 6

Tabela de pontos notáveis (calculei r e após isso usei x=r\cos\theta, y=r\sin\theta quando útil). Vou escolher ângulos fáceis para plotar:
  • \theta=0: \cos(0)=1\Rightarrow r=1-3\cdot1=-2. Como r<0, o ponto é no sentido \theta+\pi=\pi com distância 2. Coordenada: (x,y)=(-2,0).
  • \theta=\tfrac{\pi}{6} ( 30^\circ): \cos=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660\Rightarrow r\approx 1-3\cdot0,8660\approx-1,598. Como r<0, o ponto vai para \theta+\pi=7\pi/6. Coordenadas aproximadas: x\approx -1,384,\\ y\approx -0,799.
  • \theta=\tfrac{\pi}{3} ( 60^\circ): \cos=\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=1-3\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}=-0,5. Coordenadas: x=r\cos\theta=-0,5\cdot\tfrac{1}{2}=-0,25,\\ y=-0,5\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0,433.
  • \theta=\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{3})\approx 1,23096: r=0 (origem).
  • \theta=\tfrac{\pi}{2} ( 90^\circ): \cos=0\Rightarrow r=1. Coordenadas: (0,1).
  • \theta=\tfrac{2\pi}{3} ( 120^\circ): \cos=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=1-3(-\tfrac{1}{2})=1+1,5=2,5. Coordenadas: x=2,5\cos(120^\circ)=2,5(-\tfrac{1}{2})=-1,25, y=2,5\sin(120^\circ)=2,5\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx2,165.
  • \theta=\pi: \cos(\pi)=-1\Rightarrow r=4. Coordenadas: (-4,0) — é o ponto mais longe da origem.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \cos=0\Rightarrow r=1. Coordenadas: (0,-1).
  • E simetricamente os pontos para \theta\in(\pi,\!2\pi) acompanham o resto da curva (e basta refletir).
Esses pontos são suficientes para traçar o esqueleto: origem (interseções), pontos interiores do laço (valores de \theta pequenos com r<0), e os pontos externos (por exemplo (-4,0) e os pontos em \pm y = (0,\pm1)).

Passo 7

Entendendo como a curva é traçada conforme \theta cresce (orientação):
  • Para \theta=0 começamos em (-2,0) (porque r=-2 em \theta=0).
  • Ao aumentar \theta até \theta=\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{3})\approx 1,23096 temos r<0, então a parte do laço interno é desenhada (essa parte fica do lado esquerdo do plano por causa da inversão de direção).
  • Em \theta=\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{3}) a curva atinge o polo (origem).
  • Para \theta maiores, r>0 e a curva vai para fora formando a parte externa do limaçon até o máximo r=4 em \theta=\pi (ponto (-4,0)).
  • Continuando para \theta\in(\pi,2\pi) a curva fecha e, por simetria, fecha o outro lado do laço.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (passo a passo na folha, sem calculadora):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y e o polo (origem).
  2. Marque os pontos notáveis em coordenadas cartesianas: (-2,0), (0,1), (0,-1), (-4,0) e a origem.
  3. Marque também os pontos intermediários calculados, por exemplo (-0,25,-0,433) e (-1,25,2,165), para guiar a curvatura.
  4. Ligue suavemente os pontos respeitando a simetria em relação ao eixo x. Lembre-se: entre \theta\approx -1,23096 e +1,23096 o valor de r é negativo — isso gera o laço interno que aparece na metade esquerda do plano.
  5. Adicione setas indicando o sentido de crescimento de \theta (geralmente o sentido anti-horário): começando em (-2,0), a curva trabalha o laço interno, passa pelo polo, forma a volta externa até (-4,0) e volta para fechar.

Passo 9

Características finais que ajudam a conferir com uma calculadora gráfica:
  • A curva é um limaçon com laço interno (porque |b|/a=3/1>1).
  • Interseções com o polo: \theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx\pm 1,23096\\ \text{rad}.
  • Máximo radial: r_{\max}=4 em \theta=\pi (ponto (-4,0)).
  • Valor negativo mínimo: r_{\min}=-2 em \theta=0 (ponto correspondente (-2,0)).
  • Simetria em relação ao eixo x.

Resposta

Limaçon com laço interno.
Interseções com o polo: \theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx\pm 1,23096\\ \text{rad}.
Máximo r=4 em \theta=\pi (ponto (-4,0)).
Valor negativo r=-2 em \theta=0 (ponto (-2,0)).
Pontos úteis: \left(0,1\right) em \theta=\tfrac{\pi}{2} e \left(0,-1\right) em \theta=\tfrac{3\pi}{2}.

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