Esboce uma curva do perfil de concentração resultante da mistura completa (
) em função da fração solidificada para os seguintes valores do coeficiente de distribuição de soluto:
Passo 1
O enunciado pede que se esboce a curva do perfil de concentração resultante da mistura completa, ou seja a razão
em função da fração solidificada, para o coeficiente de distribuição
.
Informações dadas:
- Coeficiente de partição (coeficiente de distribuição)
. - Pedir: curva (esboço qualitativo + pontos numéricos úteis) de
versus fração solidificada , assumindo mistura completa no líquido.
Passo 2
Explicando as grandezas e hipóteses que usaremos (tudo bem mastigado):
-
é a concentração inicial total do soluto (antes de solidificar). -
é a concentração do soluto na fase líquida durante a solidificação (é função de ). -
é a concentração do soluto na porção recém-solidificada (no sólido formado naquele instante). -
é a fração solidificada (varia de a ). - O coeficiente de partição
é definido por no equilíbrio entre sólido e líquido na interfase (ou seja, o sólido incorpora uma fração da concentração do líquido). - Hipóteses do problema: mistura completa no líquido (o líquido é homogêneo instantaneamente) e difusão desprezível no sólido; estas hipóteses levam à chamada equação de Scheil (modelo clássico para solidificação com mistura completa do líquido).
Passo 3
Montando o balanço de massa do soluto (passo a passo):
- A fração de líquido é
. A quantidade de soluto no líquido é (normalizado por massa total). - A quantidade total de soluto é
; portanto vale sempre
- Diferenciando essa igualdade em relação a
(para obter uma equação diferencial local) obtemos
- Desenvolvendo a derivada, lembrando que
depende de :
- Substituindo a relação de partição
obtemos
Passo 4
Separando variáveis e integrando (a derivação da fórmula final):
- Reescrevendo a equação diferencial para separar:
- Integramos desde
(onde ) até um arbitrário:
- Exponenciando:
- Usando
obtemos a equação de Scheil para a composição do sólido recém-formado:
- Normalizando pela concentração inicial:
Aqui cada símbolo foi definido:
é o coeficiente de partição,
fração solidificada,
concentração inicial,
concentração no sólido formado.
Passo 5
Aplicando
e simplificando a forma:
- Para
temos . Logo
- Observação útil de interpretação:
, portanto a razão começa em quando e cresce muito rapidamente quando fica pequeno (isto é, quando se aproxima de ).
Passo 6
Cálculo de pontos numéricos para ajudar o esboço (eu explico cada conta):
Usarei pontos representativos .
Usarei pontos representativos
-
:
-
: aqui . Como ,
-
: . Como ,
-
: . ,
-
: . ,
-
: . ,
(As aproximações acima usam que
e propriedades de potências; a ideia é mostrar ordem de grandeza.)
Passo 7
Interpretação qualitativa e instruções para esboçar a curva:
- No início (
próximo de ) a curva começa em : muito baixa. - Para frações intermediárias (por exemplo
) a razão ainda é pequena (em torno de ). - À medida que
se aproxima muito de a razão aumenta explosivamente: aos de solidificação chega-se a , aos chega-se a , e nos últimos décimos de milésimo cresce para valores da ordem de ou maiores. - Limite: teoricamente
quando (porque a fração de líquido remanescente tende a zero e o soluto se concentra no líquido restante). - Dica prática de desenho: em papel com escala linear no eixo vertical a curva ficará praticamente no eixo perto de zero durante quase todo o intervalo e subirá muito fortemente bem perto de
. Para visualizar melhor a variação use escala logarítmica no eixo vertical (log10 de ); nessa escala a curva aparece quase como uma reta inclinada suavemente. - Pontos para marcar no esboço (úteis):
.
Passo 8
Resumo físico rápido (motivo do formato da curva):
- Porque
é muito pequeno ( ), o soluto é rejeitado para o líquido durante a solidificação e vai se acumulando no líquido remanescente. Como o modelo assume mistura completa do líquido, essa rejeição faz com que a última porção de sólido formada seja extremamente enriquecida em soluto — daí o forte aumento de próximo ao fim.
Resposta
(Valores úteis para esboço: