Esboce uma curva do perfil de concentração resultante da mistura completa ( \mathrm{Cs} / \mathrm{C} 0 ) em função da fração solidificada para os seguintes valores do coeficiente de distribuição de soluto:
\mathrm{k}=0,001

Passo 1

O enunciado pede que se esboce a curva do perfil de concentração resultante da mistura completa, ou seja a razão \dfrac{C_s}{C_0} em função da fração solidificada, para o coeficiente de distribuição k=0{,}001.
Informações dadas:
  • Coeficiente de partição (coeficiente de distribuição) k = 0{,}001.
  • Pedir: curva (esboço qualitativo + pontos numéricos úteis) de \dfrac{C_s}{C_0} versus fração solidificada f_s, assumindo mistura completa no líquido.

Passo 2

Explicando as grandezas e hipóteses que usaremos (tudo bem mastigado):
  • C_0 é a concentração inicial total do soluto (antes de solidificar).
  • C_L é a concentração do soluto na fase líquida durante a solidificação (é função de f_s).
  • C_s é a concentração do soluto na porção recém-solidificada (no sólido formado naquele instante).
  • f_s é a fração solidificada (varia de 0 a 1).
  • O coeficiente de partição k é definido por C_s = k\,C_L no equilíbrio entre sólido e líquido na interfase (ou seja, o sólido incorpora uma fração k da concentração do líquido).
  • Hipóteses do problema: mistura completa no líquido (o líquido é homogêneo instantaneamente) e difusão desprezível no sólido; estas hipóteses levam à chamada equação de Scheil (modelo clássico para solidificação com mistura completa do líquido).

Passo 3

Montando o balanço de massa do soluto (passo a passo):
  • A fração de líquido é 1-f_s. A quantidade de soluto no líquido é C_L(1-f_s) (normalizado por massa total).
  • A quantidade total de soluto é C_0; portanto vale sempre
C_L(1-f_s)+\int_{0}^{f_s} C_s(\tilde f)\,d\tilde f = C_0.
  • Diferenciando essa igualdade em relação a f_s (para obter uma equação diferencial local) obtemos
\frac{d}{df_s}\big[C_L(1-f_s)\big] + C_s = 0.
  • Desenvolvendo a derivada, lembrando que C_L depende de f_s:
(1-f_s)\frac{dC_L}{df_s} - C_L + C_s = 0.
  • Substituindo a relação de partição C_s = k\,C_L obtemos
(1-f_s)\frac{dC_L}{df_s} = (1-k)C_L.

Passo 4

Separando variáveis e integrando (a derivação da fórmula final):
  • Reescrevendo a equação diferencial para separar:
\frac{dC_L}{C_L} = \frac{1-k}{1-f_s}\,df_s.
  • Integramos desde f_s=0 (onde C_L=C_0) até um f_s arbitrário:
\ln\!\left(\frac{C_L}{C_0}\right) = -(1-k)\ln(1-f_s).
  • Exponenciando:
C_L = C_0(1-f_s)^{-(1-k)}.
  • Usando C_s = k\,C_L obtemos a equação de Scheil para a composição do sólido recém-formado:
C_s = k\,C_0(1-f_s)^{k-1}.
  • Normalizando pela concentração inicial:
\frac{C_s}{C_0} = k\,(1-f_s)^{\,k-1}.
Aqui cada símbolo foi definido: k é o coeficiente de partição, f_s fração solidificada, C_0 concentração inicial, C_s concentração no sólido formado.

Passo 5

Aplicando k=0{,}001 e simplificando a forma:
  • Para k=0{,}001 temos k-1 = -0{,}999. Logo
\frac{C_s}{C_0} = 0{,}001\,(1-f_s)^{-0{,}999}.
  • Observação útil de interpretação: (1-f_s)^{-0{,}999} = \dfrac{1}{(1-f_s)^{0{,}999}}, portanto a razão \dfrac{C_s}{C_0} começa em k quando f_s=0 e cresce muito rapidamente quando 1-f_s fica pequeno (isto é, quando f_s se aproxima de 1).

Passo 6

Cálculo de pontos numéricos para ajudar o esboço (eu explico cada conta):
Usarei pontos representativos f_s=0,\;0{,}5,\;0{,}9,\;0{,}99,\;0{,}999,\;0{,}9999.
  • f_s=0:
\frac{C_s}{C_0}=0{,}001\,(1-0)^{-0{,}999}=0{,}001\cdot1=0{,}001.
  • f_s=0{,}5: aqui 1-f_s=0{,}5. Como 0{,}5^{-0{,}999}=2^{0{,}999}\approx1{,}998,
\frac{C_s}{C_0}\approx0{,}001\cdot1{,}998\approx0{,}001998\approx0{,}0020.
  • f_s=0{,}9: 1-f_s=0{,}1. Como 0{,}1^{-0{,}999}=10^{0{,}999}\approx9{,}977,
\frac{C_s}{C_0}\approx0{,}001\cdot9{,}977\approx0{,}00998\approx0{,}010.
  • f_s=0{,}99: 1-f_s=0{,}01. 0{,}01^{-0{,}999}=100^{0{,}999}\approx99{,}77,
\frac{C_s}{C_0}\approx0{,}001\cdot99{,}77\approx0{,}0998\approx0{,}10.
  • f_s=0{,}999: 1-f_s=0{,}001. 0{,}001^{-0{,}999}=1000^{0{,}999}\approx997{,}7,
\frac{C_s}{C_0}\approx0{,}001\cdot997{,}7\approx0{,}9977\approx0{,}998.
  • f_s=0{,}9999: 1-f_s=10^{-4}. 10^{4\cdot0{,}999}\approx10^{3{,}996}\approx9977,
\frac{C_s}{C_0}\approx0{,}001\cdot9977\approx9{,}977.
(As aproximações acima usam que x^{-0{,}999}=(1/x)^{0{,}999} e propriedades de potências; a ideia é mostrar ordem de grandeza.)

Passo 7

Interpretação qualitativa e instruções para esboçar a curva:
  • No início ( f_s próximo de 0) a curva começa em \dfrac{C_s}{C_0}=k=0{,}001: muito baixa.
  • Para frações intermediárias (por exemplo f_s=0{,}5) a razão ainda é pequena (em torno de 2\times10^{-3}).
  • À medida que f_s se aproxima muito de 1 a razão aumenta explosivamente: aos 90\% de solidificação chega-se a \sim10^{-2}, aos 99\% chega-se a \sim10^{-1}, e nos últimos décimos de milésimo cresce para valores da ordem de 1 ou maiores.
  • Limite: teoricamente \dfrac{C_s}{C_0}\to\infty quando f_s\to1 (porque a fração de líquido remanescente tende a zero e o soluto se concentra no líquido restante).
  • Dica prática de desenho: em papel com escala linear no eixo vertical a curva ficará praticamente no eixo perto de zero durante quase todo o intervalo e subirá muito fortemente bem perto de f_s=1. Para visualizar melhor a variação use escala logarítmica no eixo vertical (log10 de \dfrac{C_s}{C_0}); nessa escala a curva aparece quase como uma reta inclinada suavemente.
  • Pontos para marcar no esboço (úteis): (0,0{,}001),\;(0{,}5,0{,}002),\;(0{,}9,0{,}010),\;(0{,}99,0{,}10),\;(0{,}999,0{,}998).

Passo 8

Resumo físico rápido (motivo do formato da curva):
  • Porque k é muito pequeno ( k\ll1), o soluto é rejeitado para o líquido durante a solidificação e vai se acumulando no líquido remanescente. Como o modelo assume mistura completa do líquido, essa rejeição faz com que a última porção de sólido formada seja extremamente enriquecida em soluto — daí o forte aumento de \dfrac{C_s}{C_0} próximo ao fim.

Resposta

\displaystyle \frac{C_s}{C_0}=k(1-f_s)^{\,k-1} \quad\text{com } k=0{,}001,\\ \text{ou seja}\\ \frac{C_s}{C_0}=0{,}001(1-f_s)^{-0{,}999}.
(Valores úteis para esboço: (f_s,\;C_s/C_0)\approx(0,\;0{,}001),\\ (0{,}5,\;0{,}002),\\ (0{,}9,\;0{,}010),\\ (0{,}99,\;0{,}10),\\ (0{,}999,\;0{,}998).)

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