Uma barra de
com diâmetro de 80 mm e comprimento de 150 mm é solidificada unidirecionalmente. Sabendo que o coeficiente de distribuição de soluto é
, calcule:
a) A composição na extremidade inicial da barra;
b) A composição no centro da barra;
c) A posição na barra correspondente à composição eutética (
em peso de Cu );
d) A posição na barra correspondente à composição inicial.
a) A composição na extremidade inicial da barra;
b) A composição no centro da barra;
c) A posição na barra correspondente à composição eutética (
d) A posição na barra correspondente à composição inicial.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tomei estes dados diretamente do enunciado):
-
Dados:
- Composição inicial da liga:
em massa de Cu. - Coeficiente de partição:
. - Barra com comprimento
(diâmetro — não é necessário para os cálculos lineares aqui). - Composição eutética dada:
em massa de Cu.
- Composição inicial da liga:
-
Perguntas:
a) Qual a composição na extremidade inicial da barra (isto é, no primeiro sólido formado)?
b) Qual a composição no centro da barra (isto é, no ponto a)?
c) Qual a posiçãoao longo da barra (medida a partir da extremidade inicial) onde a composição do sólido é igual a ?
d) Qual a posiçãoonde a composição do sólido é igual à composição inicial ?
Passo 2
Escolha do método e hipóteses (explicação didática):
- Para solidificação unidirecional com mistura completa no líquido e difusão desprezível no sólido, o modelo clássico é a equação de Scheil. Esse modelo é o mais usado quando:
- o líquido se mistura bem à frente do avanço do frente de solidificação (concentração uniforme no líquido);
- o sólido que se forma não sofre difusão significativa (concentração no sólido “congela” no momento da formação).
- A equação de Scheil relaciona a composição do líquido remanescente
e do sólido recém-formado com a fração sólida formada . - Fórmulas principais (Scheil):
- Fórmulas principais (Scheil):
- Aqui:
-
= composição inicial da liga (fração em massa, ou % em massa usado consistentemente); -
= fração sólida formada (adimensional), varia de (início da solidificação) a (fim); -
= composição do líquido imediatamente à frente da frente de solidificação; -
= composição do sólido que está sendo formado naquele instante; -
= coeficiente de partição sólido/líquido ( no equilíbrio local).
-
- Relação posição ↔ fração sólida: se a solidificação progride uniformemente desde a extremidade inicial
até , então a fração sólida quando o frente chegou na posição é Assim, a composição do sólido na posição após solidificação é
Passo 3
Escrevendo explicitamente a fórmula que vamos usar para todos os cálculos:
onde:
-
é a distância medida a partir da extremidade inicial (onde começou a solidificação); -
; -
; -
.
Observação: comoé negativo ( ), a potência cresce muito quando fica pequeno (isto é, perto do final da barra), o que corresponde à forte segregação de soluto acumulado no fim da barra.
Passo 4
Na extremidade inicial
temos
. Substituindo:
Calculando numericamente:
Portanto a composição do sólido formado inicialmente é
de Cu.
Passo 5
Aqui
, logo
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Calculemos passo a passo:
Passo 6
Queremos achar
tal que
Isolando a potência:
Tome logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Agora substituímos os números:
Portanto a posição medida a partir da extremidade inicial é
Passo 7
Queremos solução de
Dividindo por
(não nulo):
Tome logaritmo:
Calcule numericamente:
Resposta
a)
b)
c) (medido a partir da extremidade inicial)
d) (medido a partir da extremidade inicial)
b)
c)
d)