Uma barra de \mathrm{Al}-3 \% \mathrm{Cu} com diâmetro de 80 mm e comprimento de 150 mm é solidificada unidirecionalmente. Sabendo que o coeficiente de distribuição de soluto é \mathrm{k}=0,15, calcule:
a) A composição na extremidade inicial da barra;
b) A composição no centro da barra;
c) A posição na barra correspondente à composição eutética ( \mathrm{Ce}=33 \% em peso de Cu );
d) A posição na barra correspondente à composição inicial.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Dados:
    • Composição inicial da liga: C_0 = 3\% em massa de Cu.
    • Coeficiente de partição: k = 0,15.
    • Barra com comprimento L = 150\\ \mathrm{mm} (diâmetro 80\\ \mathrm{mm} — não é necessário para os cálculos lineares aqui).
    • Composição eutética dada: C_e = 33\% em massa de Cu.
  • Perguntas:
    a) Qual a composição na extremidade inicial da barra (isto é, no primeiro sólido formado)?
    b) Qual a composição no centro da barra (isto é, no ponto a x = L/2)?
    c) Qual a posição x ao longo da barra (medida a partir da extremidade inicial) onde a composição do sólido é igual a C_e = 33\%?
    d) Qual a posição x onde a composição do sólido é igual à composição inicial C_0 = 3\%?

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (explicação didática):
  • Para solidificação unidirecional com mistura completa no líquido e difusão desprezível no sólido, o modelo clássico é a equação de Scheil. Esse modelo é o mais usado quando:
    • o líquido se mistura bem à frente do avanço do frente de solidificação (concentração uniforme no líquido);
    • o sólido que se forma não sofre difusão significativa (concentração no sólido “congela” no momento da formação).
  • A equação de Scheil relaciona a composição do líquido remanescente C_L e do sólido recém-formado C_s com a fração sólida formada f_s.
    • Fórmulas principais (Scheil): C_L = C_0\,(1 - f_s)^{\,k-1},
C_s = k\,C_L = k\,C_0\,(1 - f_s)^{\,k-1}.
  • Aqui:
    • C_0 = composição inicial da liga (fração em massa, ou % em massa usado consistentemente);
    • f_s = fração sólida formada (adi­men­sion­al), varia de 0 (início da solidificação) a 1 (fim);
    • C_L = composição do líquido imediatamente à frente da frente de solidificação;
    • C_s = composição do sólido que está sendo formado naquele instante;
    • k = coeficiente de partição sólido/líquido ( k = C_s / C_L no equilíbrio local).
  • Relação posição ↔ fração sólida: se a solidificação progride uniformemente desde a extremidade inicial x=0 até x=L, então a fração sólida quando o frente chegou na posição x é f_s = \frac{x}{L}.Assim, a composição do sólido na posição x após solidificação é C_s(x) = k\,C_0\left(1 - \frac{x}{L}\right)^{\,k-1}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a fórmula que vamos usar para todos os cálculos:
C_s(x) = k\,C_0\left(1 - \frac{x}{L}\right)^{\,k-1},
onde:
  • x é a distância medida a partir da extremidade inicial (onde começou a solidificação);
  • L=150\\ \mathrm{mm};
  • C_0=3\%;
  • k=0,15.
    Observação: como k-1 é negativo ( 0,15-1=-0,85), a potência \left(1-\dfrac{x}{L}\right)^{k-1} cresce muito quando 1-\dfrac{x}{L} fica pequeno (isto é, perto do final da barra), o que corresponde à forte segregação de soluto acumulado no fim da barra.

Passo 4

Na extremidade inicial x=0 temos f_s=0. Substituindo:
C_s(0)=k\,C_0\left(1-0\right)^{k-1}=k\,C_0.
Calculando numericamente:
k\,C_0 = 0,15\times 3\% = 0,45\%.
Portanto a composição do sólido formado inicialmente é \,0,45\% de Cu.

Passo 5

Aqui x = L/2 = 75\\ \mathrm{mm}, logo 1 - x/L = 1 - 1/2 = 0,5.
Usando a fórmula:
C_s\!\left(\frac{L}{2}\right)=k\,C_0\,(0,5)^{\,k-1}.
Calculemos passo a passo:
k-1 = 0,15 - 1 = -0,85.
(0,5)^{-0,85} = \exp\big(-0,85\cdot\ln(0,5)\big) = \exp\big(0,85\cdot 0,693147\ldots\big) \approx \exp(0,589174\ldots)\approx 1,802.
C_s\!\left(\frac{L}{2}\right)=0,15\times 3\%\times 1,802 \approx 0,810\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Queremos achar x tal que
k\,C_0\left(1-\frac{x}{L}\right)^{k-1} = C_e.
Isolando a potência:
\left(1-\frac{x}{L}\right)^{k-1} = \frac{C_e}{k\,C_0}.
Tome logaritmo natural em ambos os lados:
(k-1)\,\ln\!\left(1-\frac{x}{L}\right) = \ln\!\left(\frac{C_e}{k\,C_0}\right).
Logo
\ln\!\left(1-\frac{x}{L}\right) = \frac{\ln\!\left(\dfrac{C_e}{k\,C_0}\right)}{k-1}.
Agora substituímos os números:
\frac{C_e}{k\,C_0} = \frac{33}{0,15\times 3} = \frac{33}{0,45} = 73,\overline{3}.
\ln\!\left(73,\overline{3}\right) \approx 4,295015.
k-1 = -0,85 \quad\Rightarrow\quad \frac{4,295015}{-0,85} \approx -5,052955.
1-\frac{x}{L} = \exp(-5,052955)\approx 0,0063825.
\frac{x}{L} = 1 - 0,0063825 = 0,9936175.
Portanto a posição medida a partir da extremidade inicial é
x = 0,9936175\times 150\\ \mathrm{mm} \approx 149,043\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Queremos solução de
k\,C_0\left(1-\frac{x}{L}\right)^{k-1} = C_0.
Dividindo por C_0 (não nulo):
k\left(1-\frac{x}{L}\right)^{k-1} = 1.
\left(1-\frac{x}{L}\right)^{k-1} = \frac{1}{k}.
Tome logaritmo:
(k-1)\ln\!\left(1-\frac{x}{L}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{k}\right).
\ln\!\left(1-\frac{x}{L}\right) = \frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{k}\right)}{k-1}.
Calcule numericamente:
\frac{1}{k}=\frac{1}{0,15}=6,\overline{6},\qquad \ln\!\left(6,\overline{6}\right)\approx 1,897119.
\frac{1,897119}{-0,85} \approx -2,233081.
1-\frac{x}{L} = \exp(-2,233081)\approx 0,107370.
\frac{x}{L} = 1 - 0,107370 = 0,892630.
x = 0,892630\times 150\\ \mathrm{mm} \approx 133,895\\ \mathrm{mm}.

Resposta

a) C_s(0)=0,45\%
b) C_s(L/2)\approx 0,810\%
c) x\approx 149,043\\ \mathrm{mm} (medido a partir da extremidade inicial)
d) x\approx 133,895\\ \mathrm{mm} (medido a partir da extremidade inicial)

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