Qual dos metais relacionados a seguir apresentará um maior raio crítico em condições de sub-resfriamento máximo: alumínio, cobre, ferro ou níquel?

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos metais listados — alumínio, cobre, ferro ou níquel — terá o maior raio crítico em condições de sub‑resfriamento máximo.
Informações dadas: a lista dos metais a comparar é
  • alumínio,
  • cobre,
  • ferro,
  • níquel.
O que se pede: identificar, entre esses quatro, qual apresenta o maior raio crítico quando cada um está em sua condição de sub‑resfriamento máximo.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula que define o raio crítico de um núcleo (a clássica teoria da nucleação). Para nucleação homogênea esférica, o raio crítico r^* é dado por
r^*=\frac{2\gamma_{SL}}{\Delta G_v},
onde:
  • \gamma_{SL} é a energia interfacial sólido‑líquido (unidade: \mathrm{J\,m^{-2}}); mede o “custo” de criar a superfície entre sólido e líquido;
  • \Delta G_v é a variação da energia livre por unidade de volume entre líquido metaestável e sólido (unidade: \mathrm{J\,m^{-3}}); é o termo que fornece o “favor” termodinâmico para formar sólido (quanto maior \Delta G_v, maior o empurrão para solidificar e menor o raio crítico).
Explicando em palavras fáceis: o núcleo precisa vencer um custo de superfície (proporcional a \gamma_{SL}) enquanto ganha energia de volume (proporcional a \Delta G_v). O raio crítico é o ponto de equilíbrio entre esses dois efeitos.

Passo 3

Agora precisamos relacionar \Delta G_v com grandezas que conhecemos. Uma aproximação muito usada é
\Delta G_v \approx \frac{\Delta H_f\,\Delta T}{T_m},
onde:
  • \Delta H_f é o calor latente de fusão por unidade de volume (unidade: \mathrm{J\,m^{-3}}); se a tabela de dados der por mol, deve transformar para volume ou massa, mas para comparação qualitativa podemos raciocinar em termos relativos;
  • \Delta T é o sub‑resfriamento (ou undercooling): \Delta T = T_m - T (unidade: K);
  • T_m é a temperatura de fusão (melting point) absoluta (unidade: K).
Interpretação: para dado \Delta T, quanto maior \Delta H_f (ou maior \Delta H_f/T_m), maior \Delta G_v e, portanto, menor será r^*. Também vemos que r^* é proporcional a \gamma_{SL}: maior energia interfacial → maior raio crítico.

Passo 4

Vamos pensar quais fatores variam entre os metais listados e como eles influenciam r^*.
Pontos-chave práticos e aproximações úteis (explicadas para prova):
  • A razão \dfrac{\Delta H_f}{T_m} é numericamente igual à entropia de fusão \Delta S_f (pois \Delta H_f = T_m\Delta S_f). Para muitos metais simples, \Delta S_f tem valores de mesma ordem de grandeza (não variando dramaticamente entre metais como Al, Cu, Fe, Ni). Isso significa que, para comparações qualitativas e quando \Delta T (o sub‑resfriamento) não difere enormemente entre os metais, o termo \Delta G_v tende a não variar tanto entre eles.
  • Em condições de “sub‑resfriamento máximo” cada metal atinge o maior \Delta T praticável para ele; na ausência de dados numéricos sobre esses \Delta T_{\max} para cada metal, uma aproximação razoável para fins de comparação é assumir que o produto \Delta S_f\cdot\Delta T_{\max} não difere por ordens de magnitude entre esses metais. Em suma: \Delta G_v fica da mesma ordem para os quatro metais (aproximação usada para ranking qualitativo).
  • Assim, a grandeza que tende a dominar a comparação é \gamma_{SL}: o metal com maior \gamma_{SL} terá maior r^* (já que r^*\propto\gamma_{SL}/\Delta G_v e \Delta G_v é assumida comparável).

Passo 5

Agora: qual metal tem maior energia interfacial sólido‑líquido \gamma_{SL}? Tendências e intuição física:
  • Materiais com ligações mais fortes, maiores energias de coesão e temperaturas de fusão mais altas geralmente apresentam \gamma_{SL} maiores.
  • Entre os quatro metais dados, as temperaturas de fusão crescem aproximadamente na ordem: alumínio (mais baixo) < cobre < níquel < ferro (ferro tem a maior temperatura de fusão entre esses) — portanto ferro e níquel têm ligações mais fortes e grandes energias de coesão em comparação com cobre e alumínio.
  • Consequentemente, espera‑se que ferro tenha a maior \gamma_{SL}, seguido de níquel, cobre e finalmente alumínio (alumínio tende a ter a menor energia interfacial).
Juntando tudo: como \Delta G_v não muda dramaticamente entre os quatro sob a aproximação usada, e \gamma_{SL} é o fator decisivo, o ferro é o que apresenta o maior r^* em condição de sub‑resfriamento máximo. Ordem qualitativa esperada:
r^*(\text{Fe})>r^*(\text{Ni})>r^*(\text{Cu})>r^*(\text{Al}).

Passo 6

Observações finais para a prova (dicas de como justificar rapidamente):
  • Escreva a fórmula central: \;r^*=\dfrac{2\gamma_{SL}}{\Delta G_v}\; e a aproximação \;\Delta G_v\approx\dfrac{\Delta H_f\,\Delta T}{T_m}.
  • Explique que, na falta de dados numéricos dos \Delta T_{\max} e dos \gamma_{SL} exatos, usa‑se a razão física: \Delta S_f=\Delta H_f/T_m tende a ser parecida entre metais simples, então \gamma_{SL} determina o ranking.
  • Conclua citando o metal com maior \gamma_{SL}: ferro.

Resposta

Ferro (Fe)

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