Sejam
e
retas. Para que valores de
,
e
são concorrentes. Qual o ponto de intercessão neste caso?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem duas retas no espaço, definidas por equações paramétricas. O objetivo é descobrir para quais valores de $ m $ essas duas retas se cruzam, ou seja, são concorrentes. E também, encontrar o ponto onde elas se encontram. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, igual igualar as equações das retas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas $ r $ e $ s $:
Aqui, $ t $ e $ s $ são os parâmetros que variam ao longo de cada reta.
Passo 3
Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que pertence às duas. Ou seja, precisamos que as coordenadas de $ \mathbf{X} $ sejam iguais para algum valor de $ t $ e $ s $. Vamos igualar as componentes de $ \mathbf{X} $:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ t $, $ s $ e $ m $). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ m $ que permitem que as retas se cruzem.
Primeiro, da primeira equação:
Passo 5
Substituindo $ s = 1 + 2t $ na segunda equação:
Vamos resolver para $ t $:
Passo 6
Agora, substituímos $ s = 1 + 2t $ e $ t = \frac{1 + m}{1 - 2m} $ na terceira equação:
Substituindo $ t $:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando tudo por $ 1 - 2m $ para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Passo 8
Resolvendo para $ m $:
Passo 9
Com o valor de $ m = \frac{2}{3} $, vamos encontrar $ t $ e $ s $:
Passo 10
Agora, substituímos $ t = -5 $ na equação da reta $ r $ para encontrar o ponto de interseção:
Resposta
Para $ m = \frac{2}{3} $, as retas $ r $ e $ s $ são concorrentes, e o ponto de interseção é $ (-9, -5, -13) $.