Sejam r: X=(1,0,2)+t(2,1,3) e s: X=(0,1,-1)+s(1, m, 2m) retas. Para que valores de m, r e s são concorrentes. Qual o ponto de intercessão neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem duas retas no espaço, definidas por equações paramétricas. O objetivo é descobrir para quais valores de $ m $ essas duas retas se cruzam, ou seja, são concorrentes. E também, encontrar o ponto onde elas se encontram. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, igual igualar as equações das retas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas $ r $ e $ s $:
r
s
Aqui, $ t $ e $ s $ são os parâmetros que variam ao longo de cada reta.

Passo 3

Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que pertence às duas. Ou seja, precisamos que as coordenadas de $ \mathbf{X} $ sejam iguais para algum valor de $ t $ e $ s $. Vamos igualar as componentes de $ \mathbf{X} $:
X
t
s

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ t $, $ s $ e $ m $). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ m $ que permitem que as retas se cruzem.
Primeiro, da primeira equação:
t

Passo 5

Substituindo $ s = 1 + 2t $ na segunda equação:
s = 1 + 2t
Vamos resolver para $ t $:
t = 1 + m(1 + 2t)
t
t = 1 + m + 2mt
t - 2mt = 1 + m

Passo 6

Agora, substituímos $ s = 1 + 2t $ e $ t = \frac{1 + m}{1 - 2m} $ na terceira equação:
s = 1 + 2t
t = 1 + m1 - 2m
2 + 3t = -1 + 2m s
Substituindo $ t $:
2 + 3(1 + m1 - 2m) = -1 + 2m(1 + 2t)

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando tudo por $ 1 - 2m $ para eliminar os denominadores:
1 - 2m
Expandindo:
2(1 - 2m) + 3(1 + m) = (-1 + 2m)(1 - 2m) + 4m(1 + m)
2 - 4m + 3 + 3m = -1 + 2m + 2m - 4m^2 + 4m + 4m^2

Passo 8

Resolvendo para $ m $:
m
5 + 1 = 8m + m
6 = 9m

Passo 9

Com o valor de $ m = \frac{2}{3} $, vamos encontrar $ t $ e $ s $:
m = 23
t

Passo 10

Agora, substituímos $ t = -5 $ na equação da reta $ r $ para encontrar o ponto de interseção:
t = -5

Resposta

Para $ m = \frac{2}{3} $, as retas $ r $ e $ s $ são concorrentes, e o ponto de interseção é $ (-9, -5, -13) $.

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