Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
\quad x=5 \operatorname{sen} t, \quad y=t^{2}, \quad-\pi \leqslant t \leqslant \pi
x=e^{-t}+t, \quad y=e^{t}-t, \quad-2 \leqslant t \leqslant 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada curva.
  • Curva A (primeira): as equações paramétricas são
x=5\sin t,\qquad y=t^{2},\qquad -\pi\le t\le \pi.
O que pedir: esboçar a curva (ou seja, plotar pontos representativos e ligar suavemente) e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando t aumenta.
  • Curva B (segunda): as equações paramétricas são
x=e^{-t}+t,\qquad y=e^{t}-t,\qquad -2\le t\le 2.
O que pedir: o mesmo — esboço com pontos e uma seta que mostre a direção para t crescente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada curva, o parâmetro t varia num intervalo fechado; isso define exatamente onde começa e termina a curva.
  • Precisa-se tanto do traçado (forma geral) quanto da orientação (direção do movimento quando t aumenta).

Passo 2

Breve aula prática sobre como esboçar curvas paramétricas (sem pular etapas).
  • Ideia: a curva é o conjunto de pontos (x(t),y(t)) conforme t varia. Para esboçar: escolher valores amostrais de t no intervalo, calcular coordenadas (x,y), marcar esses pontos no plano e ligar suavemente respeitando continuidade. Colocar uma seta no sentido em que t aumenta.
  • Como escolher pontos: pelo menos os extremos do intervalo e alguns pontos intermediários onde as funções têm valores simples (por exemplo t=0, pontos simétricos, pontos onde derivadas mudam de sinal).
  • Como determinar direção local: o vetor velocidade é \bigl(x'(t),y'(t)\bigr). Se x'(t)>0 a curva avança para a direita localmente; se x'(t)<0 avança para a esquerda; análogo para y'(t). Quando ambos negativos, o ponto move-se para baixo e para a esquerda, etc. Mesmo sem desenhar o vetor, comparar as coordenadas dos pontos amostrais em ordem crescente de t dá a orientação.
  • Simetrias e propriedades: testar x(-t),y(-t) pode revelar simetria (ex.: simetria em relação ao eixo y ou reta y=x), o que ajuda no esboço.
Agora aplico isso passo a passo em cada curva, calculando pontos e dizendo exatamente como desenhar e onde colocar a seta.

Passo 3

Análise e pontos para a Curva A: \;x=5\sin t,\; y=t^{2},\; -\pi\le t\le\pi.
  1. Intervalo e extremos:
  • \sin t varia entre -1 e 1, portanto
-5\le x\le 5.
  • y=t^{2} é não-negativa; no intervalo dado t\in[-\pi,\pi] temos
0\le y\le \pi^{2}.
  1. Simetria:
  • Calcular x(-t)=5\sin(-t)=-5\sin t=-x(t).
  • Calcular y(-t)=(-t)^{2}=t^{2}=y(t).
    Portanto, para cada t e -t os pontos têm mesma altura y e abscissas simétricas; a curva é simétrica em relação ao eixo y.
  1. Pontos amostrais fáceis (vou listar valores exatos e aproximações para ajudar no esboço):
  • t=-\pi:
x=5\sin(-\pi)=0,\qquad y=(-\pi)^{2}=\pi^{2}\approx 9,8696.
  • t=-\dfrac{\pi}{2}:
x=5\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-5,\qquad y=\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\approx 2,4674.
  • t=0:
x=5\sin 0=0,\qquad y=0^{2}=0.
  • t=\dfrac{\pi}{2}:
x=5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=5,\qquad y=\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\approx 2,4674.
  • t=\pi:
x=5\sin\pi=0,\qquad y=\pi^{2}\approx 9,8696.
  1. Interpretação geométrica desses pontos:
  • Em t=-\pi o ponto é (0,\pi^{2}) (no topo).
  • Conforme t aumenta de -\pi para 0 vemos y=t^{2} decrescer até 0 (porque y depende de t^{2} e o mínimo ocorre em t=0), e x passa de 0 para -5 (em t=-\pi/2) e depois volta para 0 em t=0. Portanto o ramo da esquerda desce do topo até o ponto mais baixo em t=0.
  • Para t de 0 a \pi a situação se espelha à direita: sobe de (0,0) para (0,\pi^{2}) passando por (5,( \pi/2)^2).

Passo 4

Direção e tangentes para Curva A (para entender para onde desenhar a seta):
  • Derivadas:
x'(t)=5\cos t,\qquad y'(t)=2t.
  • Sinal de y'(t): para t<0, y'(t)<0 (y decresce quando t aumenta até 0); para t>0, y'(t)>0 (y cresce quando t aumenta). Em t=0, y'(0)=0.
  • Sinal de x'(t): depende de \cos t. Não é necessário detalhar todos os sinais para o esboço, basta observar a progressão dos pontos amostrais para ver a orientação.
Conclusão prática sobre a orientação (modo de colocar a seta):
  • Ordenando pontos por t crescente: t=-\pi \to -\tfrac{\pi}{2}\to 0\to \tfrac{\pi}{2}\to \pi.
  • Assim a curva é traçada partindo de (0,\pi^{2}) no topo (quando t=-\pi), descendo e saindo para a esquerda até (-5,( \pi/2)^2), continuando para baixo e cruzando em (0,0) quando t=0, depois subindo à direita até (5,( \pi/2)^2) e finalmente chegando de volta a (0,\pi^{2}) em t=\pi.
  • Portanto, no esboço, trace esses pontos e coloque a seta apontando no sentido descrito: do topo (0, \pi^{2}) para a esquerda e para baixo até a origem, depois para a direita e para cima até o topo novamente.

Passo 5

Instruções práticas finais para desenhar Curva A no papel (sem calculadora):
  • Eixos: marque y até aproximadamente 10 (pois \pi^{2}\approx 9,87) e x até \pm 5.
  • Plote os pontos listados:
    • (0,\pi^{2})\approx(0,9,87) (início),
    • (-5,2,47),
    • (0,0),
    • (5,2,47),
    • (0,9,87) (fim).
  • Una suavemente os pontos formando um arco com mínimo em (0,0) e simétrico em relação ao eixo y.
  • Coloque uma seta na curva seguindo a ordem dos t crescentes: do ponto superior esquerdo (0,\pi^{2}) indo para a esquerda/baixo até a origem e depois para a direita/alto até (0,\pi^{2}).

Passo 6

Análise e pontos para a Curva B: \;x=e^{-t}+t,\; y=e^{t}-t,\; -2\le t\le 2.
  1. Observação de simetria:
  • Calcular x(-t)=e^{t}-t e y(t)=e^{t}-t. Logo
x(-t)=y(t).
Isto implica que os pontos para -t e t trocam coordenadas; a curva é simétrica em relação à reta y=x (a reflexão em y=x troca x e y).
  1. Pontos amostrais fáceis (valores exatos em termos de e e aproximações numéricas):
    Usarei e\approx 2,71828 e arredondarei a três casas decimais nas aproximações.
  • t=-2:
x=e^{-(-2)}+(-2)=e^{2}-2\approx 7,3891-2=5,3891,
y=e^{-2}-(-2)=e^{-2}+2\approx 0,1353+2=2,1353.
  • t=-1:
x=e^{1}-1\approx 2,7183-1=1,7183,
y=e^{-1}+1\approx 0,3679+1=1,3679.
  • t=0:
x=e^{0}+0=1,\qquad y=e^{0}-0=1.
  • t=1:
x=e^{-1}+1\approx 0,3679+1=1,3679,
y=e^{1}-1\approx 2,7183-1=1,7183.
  • t=2:
x=e^{-2}+2\approx 0,1353+2=2,1353,
y=e^{2}-2\approx 7,3891-2=5,3891.
Note a troca de coordenadas entre t e -t: por exemplo, (x(-1),y(-1))\approx(1,7183,1,3679) e (x(1),y(1))\approx(1,3679,1,7183).

Passo 7

Direção e comportamento local para Curva B:
  • Derivadas:
x'(t)=-e^{-t}+1=1-e^{-t},\qquad y'(t)=e^{t}-1.
  • Sinais:
    • Para t<0: e^{t}<1 e e^{-t}>1. Assim y'(t)=e^{t}-1<0 e x'(t)=1-e^{-t}<0. Logo, para t<0 ambos x e y decrescem quando t aumenta — geometricamente, a curva desloca-se para baixo e para a esquerda quando t aumenta até 0.
    • Em t=0: x'(0)=y'(0)=0. O ponto (1,1) é um ponto crítico (mínimo relativo para ambas as coordenadas na sequência do parâmetro).
    • Para t>0: e^{t}>1 e e^{-t}<1. Assim y'(t)>0 e x'(t)>0; para t>0 ambas as coordenadas crescem, então a curva vai para cima e para a direita quando t aumenta.
Conclusão prática sobre a orientação:
  • Ordenando por t crescente: t=-2\to -1\to 0\to 1\to 2.
  • O traçado começa em (5,389,2,135) (para t=-2), desloca-se para baixo/esquerda até (1,1) em t=0, e então sobe/para a direita até (2,135,5,389) em t=2.
  • No esboço, desenhar a seta apontando nessa direção (de (5,389,2,135) passando por (1,1) até (2,135,5,389)).

Passo 8

Instruções práticas finais para desenhar Curva B no papel:
  • Eixos: marque a escala de modo a cobrir aproximadamente x,y entre 1 e 6 (ou um pouco mais), pois os pontos extremos têm coordenadas até ≈ 5,39.
  • Plote os pontos calculados:
    • t=-2:\\ (5,389,\,2,135),
    • t=-1:\\ (1,718,\,1,368),
    • t=0:\\ (1,\,1),
    • t=1:\\ (1,368,\,1,718),
    • t=2:\\ (2,135,\,5,389).
  • Una os pontos suavemente formando uma curva que atravessa (1,1) com simetria em relação à reta y=x.
  • Coloque a seta na curva seguindo t crescente: do ponto com t=-2 em direção a t=2 (isto é, vindo da região direita-baixo para o centro (1,1) e então indo para cima-esquerda ou, mais precisamente, para cima-direita dependendo da vista; a descrição numérica anterior indica a progressão exata).

Resposta

Curva A: pontos representativos (0,\pi^{2}), (-5,(\tfrac{\pi}{2})^{2}), (0,0), (5,(\tfrac{\pi}{2})^{2}), (0,\pi^{2}) (correspondentes a t=-\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi respectivamente; aproximadamente (0,9,87),(-5,2,47),(0,0),(5,2,47),(0,9,87)). A curva é simétrica em relação ao eixo y. Orientação: a seta deve indicar o percurso para t crescente, ou seja, do ponto (0,\pi^{2}) em t=-\pi descendo à esquerda até (0,0) em t=0 e então subindo à direita até (0,\pi^{2}) em t=\pi.
Curva B: pontos representativos t=-2,-1,0,1,2 dão aproximadamente (5,389,\,2,135),(1,718,\,1,368),(1,1),(1,368,\,1,718),(2,135,\,5,389). A curva é simétrica em relação à reta y=x (pois x(-t)=y(t)). Orientação: a seta segue o sentido de t crescente, isto é, partindo de (5,389,\,2,135) em t=-2 indo para (1,1) em t=0 e prosseguindo até (2,135,\,5,389) em t=2.

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