Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada curva.
- Curva A (primeira): as equações paramétricas são
O que pedir: esboçar a curva (ou seja, plotar pontos representativos e ligar suavemente) e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.
- Curva B (segunda): as equações paramétricas são
O que pedir: o mesmo — esboço com pontos e uma seta que mostre a direção para
crescente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para cada curva, o parâmetro
varia num intervalo fechado; isso define exatamente onde começa e termina a curva. - Precisa-se tanto do traçado (forma geral) quanto da orientação (direção do movimento quando
aumenta).
Passo 2
Breve aula prática sobre como esboçar curvas paramétricas (sem pular etapas).
- Ideia: a curva é o conjunto de pontos
conforme varia. Para esboçar: escolher valores amostrais de no intervalo, calcular coordenadas , marcar esses pontos no plano e ligar suavemente respeitando continuidade. Colocar uma seta no sentido em que aumenta. - Como escolher pontos: pelo menos os extremos do intervalo e alguns pontos intermediários onde as funções têm valores simples (por exemplo
, pontos simétricos, pontos onde derivadas mudam de sinal). - Como determinar direção local: o vetor velocidade é
. Se a curva avança para a direita localmente; se avança para a esquerda; análogo para . Quando ambos negativos, o ponto move-se para baixo e para a esquerda, etc. Mesmo sem desenhar o vetor, comparar as coordenadas dos pontos amostrais em ordem crescente de dá a orientação. - Simetrias e propriedades: testar
pode revelar simetria (ex.: simetria em relação ao eixo ou reta ), o que ajuda no esboço.
Agora aplico isso passo a passo em cada curva, calculando pontos e dizendo exatamente como desenhar e onde colocar a seta.
Passo 3
Análise e pontos para a Curva A:
- Intervalo e extremos:
-
varia entre e , portanto
-
é não-negativa; no intervalo dado temos
- Simetria:
- Calcular
. - Calcular
.
Portanto, para cadae os pontos têm mesma altura e abscissas simétricas; a curva é simétrica em relação ao eixo .
- Pontos amostrais fáceis (vou listar valores exatos e aproximações para ajudar no esboço):
- Interpretação geométrica desses pontos:
- Em
o ponto é (no topo). - Conforme
aumenta de para vemos decrescer até (porque depende de e o mínimo ocorre em ), e passa de para (em ) e depois volta para em . Portanto o ramo da esquerda desce do topo até o ponto mais baixo em . - Para
de a a situação se espelha à direita: sobe de para passando por .
Passo 4
Direção e tangentes para Curva A (para entender para onde desenhar a seta):
- Derivadas:
- Sinal de
: para , (y decresce quando aumenta até 0); para , (y cresce quando aumenta). Em , . - Sinal de
: depende de . Não é necessário detalhar todos os sinais para o esboço, basta observar a progressão dos pontos amostrais para ver a orientação.
Conclusão prática sobre a orientação (modo de colocar a seta):
- Ordenando pontos por
crescente: . - Assim a curva é traçada partindo de
no topo (quando ), descendo e saindo para a esquerda até , continuando para baixo e cruzando em quando , depois subindo à direita até e finalmente chegando de volta a em . - Portanto, no esboço, trace esses pontos e coloque a seta apontando no sentido descrito: do topo (0,
) para a esquerda e para baixo até a origem, depois para a direita e para cima até o topo novamente.
Passo 5
Instruções práticas finais para desenhar Curva A no papel (sem calculadora):
- Eixos: marque
até aproximadamente (pois ) e até . - Plote os pontos listados:
-
(início), -
, -
, -
, -
(fim).
-
- Una suavemente os pontos formando um arco com mínimo em
e simétrico em relação ao eixo . - Coloque uma seta na curva seguindo a ordem dos
crescentes: do ponto superior esquerdo indo para a esquerda/baixo até a origem e depois para a direita/alto até .
Passo 6
Análise e pontos para a Curva B:
- Observação de simetria:
- Calcular
e . Logo
Isto implica que os pontos para
e
trocam coordenadas; a curva é simétrica em relação à reta
(a reflexão em
troca
e
).
- Pontos amostrais fáceis (valores exatos em termos de
e aproximações numéricas):
Usareie arredondarei a três casas decimais nas aproximações.
Note a troca de coordenadas entre
e
: por exemplo,
e
.
Passo 7
Direção e comportamento local para Curva B:
- Derivadas:
- Sinais:
- Para
: e . Assim e . Logo, para ambos e decrescem quando aumenta — geometricamente, a curva desloca-se para baixo e para a esquerda quando aumenta até 0. - Em
: . O ponto é um ponto crítico (mínimo relativo para ambas as coordenadas na sequência do parâmetro). - Para
: e . Assim e ; para ambas as coordenadas crescem, então a curva vai para cima e para a direita quando aumenta.
- Para
Conclusão prática sobre a orientação:
- Ordenando por
crescente: . - O traçado começa em
(para ), desloca-se para baixo/esquerda até em , e então sobe/para a direita até em . - No esboço, desenhar a seta apontando nessa direção (de
passando por até ).
Passo 8
Instruções práticas finais para desenhar Curva B no papel:
- Eixos: marque a escala de modo a cobrir aproximadamente
entre e (ou um pouco mais), pois os pontos extremos têm coordenadas até ≈ . - Plote os pontos calculados:
-
, -
, -
, -
, -
.
-
- Una os pontos suavemente formando uma curva que atravessa
com simetria em relação à reta . - Coloque a seta na curva seguindo
crescente: do ponto com em direção a (isto é, vindo da região direita-baixo para o centro e então indo para cima-esquerda ou, mais precisamente, para cima-direita dependendo da vista; a descrição numérica anterior indica a progressão exata).
Resposta
Curva A: pontos representativos
,
,
,
,
(correspondentes a
respectivamente; aproximadamente
). A curva é simétrica em relação ao eixo
. Orientação: a seta deve indicar o percurso para
crescente, ou seja, do ponto
em
descendo à esquerda até
em
e então subindo à direita até
em
.
Curva B: pontos representativos
dão aproximadamente
. A curva é simétrica em relação à reta
(pois
). Orientação: a seta segue o sentido de
crescente, isto é, partindo de
em
indo para
em
e prosseguindo até
em
.