Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{x y}, \quad y(1)=4 . \quad( desafio )

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx}=\sqrt{x\,y},\qquad y(1)=4.
Informações e o que se pede:
  • A equação diferencial relaciona a derivada dy/dx com \sqrt{x\,y}.
  • A condição inicial é y(1)=4.
  • É necessário encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Observação importante (extraída do enunciado): o símbolo \sqrt{\cdot} denota a raiz quadrada principal (não negativa), portanto faz sentido trabalhar apenas onde x\,y\ge 0. A condição inicial tem x=1>0 e y(1)=4>0, então vamos procurar solução em um intervalo onde x\ge 0 e y>0.

Passo 2

Escolhemos separar variáveis porque a equação é do tipo produto de função de x por função de y. Primeiro escrevemos a raiz como produto de raízes:
\sqrt{x\,y}=\sqrt{x}\,\sqrt{y},
válido quando x\ge 0 e y\ge 0. Assim a equação fica
\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}.
Agora separamos as variáveis (colocamos todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro). Dividindo por \sqrt{y} e multiplicando por dx obtemos
\frac{dy}{\sqrt{y}}=\sqrt{x}\,dx.
Breve aula sobre separação de variáveis: quando uma ED pode ser escrita como \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), fazemos \dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx e integramos ambos os lados. Aqui h(y)=\sqrt{y} e g(x)=\sqrt{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vamos realizar as integrais com calma:
\int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int \sqrt{x}\,dx.
Calcule a integral à esquerda: \dfrac{1}{\sqrt{y}}=y^{-1/2} e uma primitiva é
\int y^{-1/2}\,dy=2\sqrt{y}.
À direita, \sqrt{x}=x^{1/2} e uma primitiva é
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Portanto após integrar obtemos (lembrando da constante de integração C):
2\sqrt{y}=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

Passo 4

Simplificamos dividindo por 2. Escrevemos a constante de forma mais simples: seja K=\dfrac{C}{2}. Assim
\sqrt{y}=\frac{1}{3}x^{3/2}+K.
Agora lembramos que \sqrt{y} é a raiz principal, logo o lado esquerdo é não negativo; a expressão do lado direito deve ser compatível com isso no intervalo considerado. Para obter K usamos a condição inicial y(1)=4. Substituindo x=1 e y=4:
\sqrt{4}=\frac{1}{3}\cdot 1^{3/2}+K \quad\Rightarrow\quad 2=\frac{1}{3}+K.
Logo
K=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 5

Substituindo K na expressão para \sqrt{y} temos
\sqrt{y}=\frac{1}{3}x^{3/2}+\frac{5}{3}=\frac{x^{3/2}+5}{3}.
Elevando ambos os lados ao quadrado (lembrando que a raiz à esquerda é não negativa, então não introduzimos sinais errados) obtemos a solução explícita
y=\left(\frac{x^{3/2}+5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\bigl(x^{3/2}+5\bigr)^{2}.

Passo 6

Checagem rápida (como fazer na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original deve voltar \sqrt{x\,y}. Uma forma rápida de ver isso é derivar a relação \sqrt{y}=\dfrac{1}{3}x^{3/2}+\dfrac{5}{3}. Derivando ambos os lados:
\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x^{1/2}.
Multiplicando por 2\sqrt{y} vem
\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}\,x^{1/2}=\sqrt{x\,y},
que é exatamente a equação original. E a condição inicial foi satisfeita por construção.

Passo 7

Discussão sobre domínio e unicidade (útil para prova e entendimento): a expressão x^{3/2} exige x\ge 0 para trabalharmos com raízes reais na forma usual; a solução encontrada fornece y(x)>0 para todo x\ge 0, então o produto x\,y é não negativo e a equação faz sentido. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), como a função f(x,y)=\sqrt{x\,y} e a derivada parcial \partial f/\partial y=\tfrac{1}{2}\sqrt{x}/\sqrt{y} são contínuas em uma vizinhança do ponto (1,4) (já que \sqrt{y} não anula em y=4), a solução dada é única em algum intervalo ao redor de x=1. De fato a fórmula explícita define a solução para todo x\ge 0.

Resposta

y(x)=\frac{1}{9}\bigl(x^{3/2}+5\bigr)^{2},\qquad x\ge 0.

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