Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
desafio
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
Informações e o que se pede:
- A equação diferencial relaciona a derivada
com . - A condição inicial é
. - É necessário encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Observação importante (extraída do enunciado): o símbolo
denota a raiz quadrada principal (não negativa), portanto faz sentido trabalhar apenas onde . A condição inicial tem e , então vamos procurar solução em um intervalo onde e .
Passo 2
Escolhemos separar variáveis porque a equação é do tipo produto de função de
por função de
. Primeiro escrevemos a raiz como produto de raízes:
válido quando
e
. Assim a equação fica
Agora separamos as variáveis (colocamos todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro). Dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Breve aula sobre separação de variáveis: quando uma ED pode ser escrita como
, fazemos
e integramos ambos os lados. Aqui
e
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vamos realizar as integrais com calma:
Calcule a integral à esquerda:
e uma primitiva é
À direita,
e uma primitiva é
Portanto após integrar obtemos (lembrando da constante de integração
):
Passo 4
Simplificamos dividindo por
. Escrevemos a constante de forma mais simples: seja
. Assim
Agora lembramos que
é a raiz principal, logo o lado esquerdo é não negativo; a expressão do lado direito deve ser compatível com isso no intervalo considerado. Para obter
usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Logo
Passo 5
Substituindo
na expressão para
temos
Elevando ambos os lados ao quadrado (lembrando que a raiz à esquerda é não negativa, então não introduzimos sinais errados) obtemos a solução explícita
Passo 6
Checagem rápida (como fazer na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original deve voltar
. Uma forma rápida de ver isso é derivar a relação
. Derivando ambos os lados:
Multiplicando por
vem
que é exatamente a equação original. E a condição inicial foi satisfeita por construção.
Passo 7
Discussão sobre domínio e unicidade (útil para prova e entendimento): a expressão
exige
para trabalharmos com raízes reais na forma usual; a solução encontrada fornece
para todo
, então o produto
é não negativo e a equação faz sentido. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), como a função
e a derivada parcial
são contínuas em uma vizinhança do ponto
(já que
não anula em
), a solução dada é única em algum intervalo ao redor de
. De fato a fórmula explícita define a solução para todo
.