Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informação relevante fornecida:
- A derivada de
em relação a é . - A equação relaciona
com e . - A condição inicial fixa
no ponto : .
Passo 2
Escolha do método: a equação pode ser escrita de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
do outro — ou seja, é uma equação separável. Separar variáveis é um método direto e simples aqui porque a equação já está no formato
com
e
. Vou usar separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 3
Separar variáveis: dividir ambos os lados por
(nota: existe também a solução trivial
, mas ela não satisfaz
, então podemos dividir por
na vizinhança do ponto inicial onde
):
Agora escrever em diferencial e integrar:
Integrando os dois lados:
Passo 4
Calcular as integrais explicando cada passo.
- A integral à esquerda é padrão:
- Para a integral à direita, usar
. Faça a substituição , então . Assim
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante
):
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
(constante positiva) e incorporando o sinal possível numa constante real
(pode ser zero ou negativo), obtemos a forma geral
onde
e a solução vale quando
. A solução trivial
corresponde a
.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Como
tem
, substituindo:
Logo
e a solução particular do PVI é
Verificação rápida (confirmação): calcule
. Como
, o lado direito da EDO é
, que coincide com a derivada, portanto está correta.
Observação sobre domínio e unicidade: a solução está definida enquanto
. Como a condição inicial está em
, a solução garantida pela existência e unicidade vale pelo menos no intervalo
.