- Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas: (i)
com
, (ii)
, cost, sent
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce (faça o desenho / descreva geometricamente) as curvas dadas por duas equações paramétricas:
(i) com
;
(ii) com
.
(i)
(ii)
Informações dadas:
- Para (i):
e são constantes e varia livremente por todos os reais. - Para (ii):
é constante, e com variando no intervalo .
O que é pedido:
- Para cada caso, identificar a forma geométrica da curva (reta, círculo, arco, etc.), sua posição no espaço (
) e qual porção é percorrida dado o intervalo de . Também descrever a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando aumenta) e indicar pontos importantes (início, fim, pontos notáveis).
Passo 2
Conceito útil (didática): curvas paramétricas no espaço.
Quando uma curva é dada por , isso significa que para cada valor de
obtemos um ponto no espaço. Para entender a forma geométrica da curva é comum:
Quando uma curva é dada por
- Ver se alguma coordenada é constante (isso indica que a curva está contida em um plano paralelo a algum plano coordenado).
- Tentar eliminar o parâmetro
combinando as equações para achar uma relação entre (isso revela equações conhecidas, como equação de reta ou de círculo/esfera). - Observar o intervalo de
para saber se a curva é inteira ou só uma parte (arco, segmento, etc.) e a sinalização de dá a orientação.
Vou aplicar essas ideias caso a caso.
Passo 3
Resolver (i):
,
.
Análise passo a passo:
- Da expressão temos
e para todo . Ou seja, e não dependem de . - A única coordenada que varia é
, que pode assumir qualquer valor real.
Conclusão matemática: o conjunto dos pontos é
Isto é a reta paralela ao eixo
que passa pelo ponto
(ou equivalentemente pela interseção da vertical sobre o ponto
no plano
).
Orientação: à medida que
aumenta,
aumenta, portanto a reta é percorrida no sentido de subir no eixo
(seta para cima quando
cresce).
Como esboçar na prova: desenhe os eixos
, marque o ponto no plano
com coordenadas
e trace a reta vertical (paralela ao eixo
) passando por esse ponto. Indique uma seta para cima (aumenta
) e para baixo (diminui
).
Passo 4
Resolver (ii):
,
.
Análise passo a passo:
- Temos
constante, logo a curva está contida no plano vertical . - As coordenadas
e lembram a parametrização padrão do círculo unitário no plano . Para ver isso, elimino :
Usando identidades trigonométricas,
Portanto, os pontos satisfazem
Isto é um círculo de raio
centrado em
no plano
. Em outras palavras, é o círculo de raio
no plano vertical
com centro em
.
Passo 5
Determinar qual porção do círculo e a orientação dado
.
- No círculo completo,
normalmente varia em . Aqui vai de a , ou seja, só percorre metade do círculo. - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Note que para
temos
, logo
. Assim a curva é a semicircunferência superior do círculo de raio
no plano
: o arco que vai de
até
passando por
.
Orientação: conforme
aumenta de
para
,
decresce de
para
e
sobe até
em
e depois volta a
. Portanto a orientação é do ponto
para
atravessando a parte superior do círculo (sentido “esquerda ao longo do arco superior” quando se vê o plano
com
horizontal e
vertical).
Passo 6
Como esboçar na prova (dicas práticas):
- Para (i): desenhe os eixos, marque
projetando no plano , trace uma reta vertical passando por esse ponto; indique seta(s) mostrando que varia ao longo de . - Para (ii): desenhe o plano
(ou marque a posição na direção ), no plano paralelo ao plano desenhe um círculo de raio centrado em . Pinte ou trace somente a semicircunferência superior ( ) de até e coloque setas mostrando o sentido de para .
Resposta
(i) Reta vertical:
, reta paralela ao eixo
passando por
; orientação para cima quando
aumenta.
(ii) Semicircunferência superior: , arco do ponto
até
passando por
; orientação de
para
quando
cresce.
(ii) Semicircunferência superior: