1. Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas: (i) (x, y, z)=(2,1, t) com t \in \mathbb{R} \mathrm{e}, (ii) (x, y, z)=(3, cost, sent ) \operatorname{com} t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (faça o desenho / descreva geometricamente) as curvas dadas por duas equações paramétricas:
(i) (x,y,z)=(2,1,t) com t\in\mathbb{R};
(ii) (x,y,z)=(3,\cos t,\sin t) com t\in[0,\pi].
Informações dadas:
  • Para (i): x=2 e y=1 são constantes e z=t varia livremente por todos os reais.
  • Para (ii): x=3 é constante, y=\cos t e z=\sin t com t variando no intervalo [0,\pi].
O que é pedido:
  • Para cada caso, identificar a forma geométrica da curva (reta, círculo, arco, etc.), sua posição no espaço ( x,y,z) e qual porção é percorrida dado o intervalo de t. Também descrever a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta) e indicar pontos importantes (início, fim, pontos notáveis).

Passo 2

Conceito útil (didática): curvas paramétricas no espaço.
Quando uma curva é dada por (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)), isso significa que para cada valor de t obtemos um ponto no espaço. Para entender a forma geométrica da curva é comum:
  • Ver se alguma coordenada é constante (isso indica que a curva está contida em um plano paralelo a algum plano coordenado).
  • Tentar eliminar o parâmetro t combinando as equações para achar uma relação entre x,y,z (isso revela equações conhecidas, como equação de reta ou de círculo/esfera).
  • Observar o intervalo de t para saber se a curva é inteira ou só uma parte (arco, segmento, etc.) e a sinalização de t dá a orientação.
Vou aplicar essas ideias caso a caso.

Passo 3

Resolver (i): (x,y,z)=(2,1,t), t\in\mathbb{R}.
Análise passo a passo:
  • Da expressão temos \;x(t)=2 e \;y(t)=1 para todo t. Ou seja, x e y não dependem de t.
  • A única coordenada que varia é \;z(t)=t, que pode assumir qualquer valor real.
Conclusão matemática: o conjunto dos pontos é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=2,\;y=1,\; z\in\mathbb{R}\}.
Isto é a reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto (2,1,0) (ou equivalentemente pela interseção da vertical sobre o ponto (2,1) no plano xy).
Orientação: à medida que t aumenta, z aumenta, portanto a reta é percorrida no sentido de subir no eixo z (seta para cima quando t cresce).
Como esboçar na prova: desenhe os eixos x,y,z, marque o ponto no plano xy com coordenadas (2,1) e trace a reta vertical (paralela ao eixo z) passando por esse ponto. Indique uma seta para cima (aumenta t) e para baixo (diminui t).

Passo 4

Resolver (ii): (x,y,z)=(3,\cos t,\sin t), t\in[0,\pi].
Análise passo a passo:
  • Temos x(t)=3 constante, logo a curva está contida no plano vertical x=3.
  • As coordenadas y(t)=\cos t e z(t)=\sin t lembram a parametrização padrão do círculo unitário no plano yz. Para ver isso, elimino t:
Usando identidades trigonométricas,
y=\cos t,\qquad z=\sin t \quad\Longrightarrow\quad y^2+z^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Portanto, os pontos satisfazem
x=3,\qquad y^2+z^2=1.
Isto é um círculo de raio 1 centrado em (y,z)=(0,0) no plano x=3. Em outras palavras, é o círculo de raio 1 no plano vertical x=3 com centro em (3,0,0).

Passo 5

Determinar qual porção do círculo e a orientação dado t\in[0,\pi].
  • No círculo completo, t normalmente varia em [0,2\pi). Aqui t vai de 0 a \pi, ou seja, só percorre metade do círculo.
  • Para t=0: (x,y,z)=(3,\cos 0,\sin 0)=(3,1,0).
  • Para t=\pi/2: (x,y,z)=(3,0,1).
  • Para t=\pi: (x,y,z)=(3,\cos\pi,\sin\pi)=(3,-1,0).
Note que para t\in[0,\pi] temos \sin t\ge 0, logo z\ge 0. Assim a curva é a semicircunferência superior do círculo de raio 1 no plano x=3: o arco que vai de (3,1,0) até (3,-1,0) passando por (3,0,1).
Orientação: conforme t aumenta de 0 para \pi, y=\cos t decresce de 1 para -1 e z=\sin t sobe até 1 em t=\pi/2 e depois volta a 0. Portanto a orientação é do ponto (3,1,0) para (3,-1,0) atravessando a parte superior do círculo (sentido “esquerda ao longo do arco superior” quando se vê o plano yz com y horizontal e z vertical).

Passo 6

Como esboçar na prova (dicas práticas):
  • Para (i): desenhe os eixos, marque (2,1,0) projetando (2,1) no plano xy, trace uma reta vertical passando por esse ponto; indique seta(s) mostrando que t varia ao longo de z.
  • Para (ii): desenhe o plano x=3 (ou marque a posição x=3 na direção x), no plano paralelo ao plano yz desenhe um círculo de raio 1 centrado em (3,0,0). Pinte ou trace somente a semicircunferência superior ( z\ge 0) de (3,1,0) até (3,-1,0) e coloque setas mostrando o sentido de (3,1,0) para (3,-1,0).

Resposta

(i) Reta vertical: \{(x,y,z)\mid x=2,\;y=1,\;z\in\mathbb{R}\}, reta paralela ao eixo z passando por (2,1,0); orientação para cima quando t aumenta.
(ii) Semicircunferência superior: \{(x,y,z)\mid x=3,\;y^2+z^2=1,\;z\ge 0\}, arco do ponto (3,1,0) até (3,-1,0) passando por (3,0,1); orientação de (3,1,0) para (3,-1,0) quando t cresce.

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