Questão 22. Considere a série
Verifique se a série é absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente. Informação relevante que o enunciado fornece:
A pergunta a responder é: a série
é absolutamente convergente? (Isto é, a série dos valores absolutos converge?)
Passo 2
Definição importante (explicada devagar): uma série
é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos
converge. No nosso caso vamos analisar
ou seja, estudaremos a convergência da série de termos positivos
Escolhi usar o critério da razão (teste de d’Alembert) porque ele é simples e muito eficiente quando o termo geral é uma razão entre um polinômio em
e uma potência exponencial como
.
Passo 3
Enunciado do critério da razão (explicado): para uma sequência de termos positivos
considere
Se
então
converge; se
então
diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui vamos aplicar com
Passo 4
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Para simplificar, escrevemos a primeira fração como potência de um fator:
Passo 5
Expandindo para ver o comportamento quando
:
Tomando o limite da razão:
Passo 6
Interpretação do resultado do passo anterior: como o limite da razão
satisfaz
, pelo critério da razão a série
converge. Isso significa que a série dos valores absolutos converge, portanto a série original é absolutamente convergente.
Passo 7
Comentário final intuitivo (pra te animar): o crescimento polinomial
é muito lento comparado ao crescimento exponencial
, por isso os termos
decaem rápido o suficiente para somarem um total finito.
Resposta
A série é absolutamente convergente.