Questão 22. Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{n^{3}}{3^{n}}
Verifique se a série é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n^{3}}{3^{n}}
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente. Informação relevante que o enunciado fornece:
a_n = (-1)^{n}\cdot\frac{n^{3}}{3^{n}}.
A pergunta a responder é: a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n é absolutamente convergente? (Isto é, a série dos valores absolutos converge?)

Passo 2

Definição importante (explicada devagar): uma série \sum_{n=1}^{\infty}a_n é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|
converge. No nosso caso vamos analisar
|a_n|=\frac{n^{3}}{3^{n}},
ou seja, estudaremos a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}}.
Escolhi usar o critério da razão (teste de d’Alembert) porque ele é simples e muito eficiente quando o termo geral é uma razão entre um polinômio em n e uma potência exponencial como 3^{n}.

Passo 3

Enunciado do critério da razão (explicado): para uma sequência de termos positivos (b_n) considere
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1 então \sum b_n converge; se L>1 então \sum b_n diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vamos aplicar com
b_n=\frac{n^{3}}{3^{n}}.

Passo 4

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{(n+1)^{3}}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{3}}{3^{n}}} =\frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\cdot\frac{1}{3}.
Para simplificar, escrevemos a primeira fração como potência de um fator:
\frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}.

Passo 5

Expandindo para ver o comportamento quando n\to\infty:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}=1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}.
Tomando o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{3} =\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\right)\cdot\frac{1}{3} =1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação do resultado do passo anterior: como o limite da razão L=\dfrac{1}{3} satisfaz L<1, pelo critério da razão a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}}
converge. Isso significa que a série dos valores absolutos converge, portanto a série original é absolutamente convergente.

Passo 7

Comentário final intuitivo (pra te animar): o crescimento polinomial n^{3} é muito lento comparado ao crescimento exponencial 3^{n}, por isso os termos \dfrac{n^{3}}{3^{n}} decaem rápido o suficiente para somarem um total finito.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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