Esboce curvas de Distribuição Radial de Probabilidade para as funções 1s e 5s em um único gráfico para o átomo de H. (b) Indique os rmp nas curvas de maneira que seja possível comparar qualitativamente os valores de r m p entre as duas funções. (c) O que pode ser afirmado sobre a distribuição radial entre os dois estados em termos de probabilidade de um elétron ser encontrado em regiões mais distantes do núcleo?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações vamos usar (sem começar a resolver ainda).
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) Esboçar, num único gráfico, as curvas de distribuição radial de probabilidade para os estados 1s e 5s do átomo de hidrogênio.
    (b) Indicar os r_{\text{mp}} (raios de máxima probabilidade radial) nas duas curvas para que seja possível comparar qualitativamente os valores entre as duas funções.
    (c) Dizer o que se pode afirmar, qualitativamente, sobre a distribuição radial dos dois estados — ou seja, qual estado tem maior probabilidade de encontrar o elétron em regiões mais distantes do núcleo.
  • Informações e convenções que usarei:
    • A coordenada radial será r e a unidade natural é o raio de Bohr a_0.
    • A distribuição radial de probabilidade (função que se desenha) é
    P_{n\ell}(r)=r^{2}\big|R_{n\ell}(r)\big|^{2},
    onde R_{n\ell}(r) é a função radial normalizada da função de onda atômica.
    • Para orbitais s temos \ell=0: usaremos P_{1s}(r) e P_{5s}(r).
    • Para comparar numericamente distâncias, vou usar fatos padrão sobre o hidrogênio: número de nós radiais de um estado com n e \ell é n-\ell-1; para 5s 5-0-1=4 nós. Também usarei a relação aproximada (e bem conhecida) de que o pico externo de estados de Rydberg tende a ficar em r\approx n^{2}a_{0}.
  • A resolução com cálculos começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula básica: o que é a distribuição radial de probabilidade e por que desenhá-la.
  • Explicando a física por trás da curva:
    • A densidade de probabilidade em coordenadas esféricas é |\Psi_{n\ell m}(\mathbf r)|^{2}=|R_{n\ell}(r)|^{2}\cdot|Y_{\ell m}(\theta,\varphi)|^{2}.
    • Para saber a probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica entre r e r+dr integra-se sobre ângulos; o fator angular integra a 1 (para estados s) e sobra o fator 4\pi, que é usualmente absorvido na normalização. A função prática para esboçar a distribuição radial é
    P_{n0}(r)=r^{2}\big|R_{n0}(r)\big|^{2}.
    • Interpretação simples: P_{n0}(r)\,dr é proporcional à probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr. O fator r^{2} dá peso a cascas maiores (mais volume), por isso a curva pode ter picos mesmo que R decaia — é a competição entre r^{2} e o decaimento/excursões de R.
  • O que vai aparecer nas curvas:
    • Estado 1s: nenhuma oscilação interna (zero nós radiais), curva com um único pico próximo ao núcleo e decaimento exponencial.
    • Estado 5s: tem 4 nós radiais (quatro zeros de R entre r=0 e r\to\infty), portanto P_{5s}(r) terá várias oscilações (vários máximos locais), sendo o pico externo o mais afastado.

Passo 3

Escrever explicitamente P_{1s}(r) e encontrar o r_{\text{mp}} do 1s (cálculo detalhado).
  • A função radial normalizada do estado 1s é conhecida:
    R_{10}(r)=2\left(\frac{1}{a_{0}}\right)^{3/2}e^{-r/a_{0}}.
    Aqui a_{0} é o raio de Bohr. Explico cada parte:
    • O fator 2 e \left(\dfrac{1}{a_{0}}\right)^{3/2} são constantes de normalização que garantem \int_{0}^{\infty}|R_{10}(r)|^{2}r^{2}dr=1.
    • O exponencial e^{-r/a_{0}} mostra que a função decai com distância.
  • Então a distribuição radial do 1s é
    P_{1s}(r)=r^{2}\big|R_{10}(r)\big|^{2}=r^{2}\cdot 4\left(\frac{1}{a_{0}}\right)^{3}e^{-2r/a_{0}}.
    Podemos escrever isso como
    P_{1s}(r)=4a_{0}^{-3}\,r^{2}e^{-2r/a_{0}}.
  • Para encontrar o r_{\text{mp}} (o r que maximiza P_{1s}(r)) fazemos a derivada e igualamos a zero. Derivando:
    \frac{dP_{1s}}{dr}=4a_{0}^{-3}e^{-2r/a_{0}}\big[2r - \frac{2}{a_{0}}r^{2}\big].
    Fatorando 2r:
    \frac{dP_{1s}}{dr}=8a_{0}^{-3}e^{-2r/a_{0}}\,r\big(1-\frac{r}{a_{0}}\big).
    Zeros da derivada: r=0 e r=a_{0}. r=0 é um mínimo local (P zero), então o máximo não-trivial é
    r_{\text{mp}}(1s)=a_{0}.
    Conclusão: o pico da distribuição radial do 1s está exatamente em r=a_{0}.

Passo 4

Forma qualitativa de P_{5s}(r), número de nós, e localização aproximada do pico externo r_{\text{mp}} do 5s.
  • Fórmula geral (sem entrar na pesada normalização) para funções radiais s do hidrogênio:
    R_{n0}(r)=N_{n0}\,e^{-r/(n a_{0})}\,L_{n-1}^{1}\!\Big(\frac{2r}{n a_{0}}\Big),
    onde L_{n-1}^{1} é um polinômio de Laguerre generalizado e N_{n0} é a constante de normalização. Aqui:
    • n é o número quântico principal,
    • a_{0} é o raio de Bohr,
    • L_{n-1}^{1} introduz os zeros (nós radiais) e as oscilações internas.
    • Não precisamos do coeficiente explícito para esboçar a forma qualitativa.
  • Características específicas do 5s:
    • n=5 e \ell=0 => número de nós radiais =n-\ell-1=4. Isso significa que R_{50}(r) muda de sinal 4 vezes (entre r=0 e \infty), logo P_{5s}(r) terá até 4 zeros internos e 4+1 = 5 regiões de máximo local (considerando o comportamento perto de zero).
    • A curva P_{5s}(r) é oscilatória (vários picos), começando em zero para r=0, subindo para um primeiro pico interno, caindo a zero (nó), subindo de novo, etc., até um pico externo bem afastado.
  • Localização aproximada do pico externo:
    • Para estados de Rydberg e, em geral, os picos externos de orbitais ligados do hidrogênio, uma boa estimativa é
    r_{\text{externo}}\approx n^{2}a_{0}.
    • Para n=5
    r_{\text{mp}}^{(\text{externo},5s)}\approx 5^{2}a_{0}=25a_{0}.
    • Observação prática: esse é o pico externo (o mais distante). Existem picos internos em distâncias menores, mas para comparar “qual está mais longe” esse pico externo é o que interessa.

Passo 5

Instruções passo a passo para esboçar as duas curvas num único gráfico (o “como desenhar” para a prova).
  • Eixos:
    • Eixo horizontal: r em unidades de a_{0} (marque, por exemplo, 0, 1, 5, 10, 20, 25, 30).
    • Eixo vertical: P(r) (escala arbitrária — o importante é a forma e posições relativas dos picos).
  • Curva 1s:
    • Começa em zero em r=0, cresce rapidamente até um pico em r=a_{0}, depois decai exponencialmente (praticamente zero depois de alguns a_{0}, por exemplo já muito pequena em r\sim 5a_{0}).
    • Desenhe um único pico afiado em r=1 (unidade a_{0}).
  • Curva 5s:
    • Comece em zero, desenhe oscilações: um primeiro pico pequeno perto de r pequeno, depois um nó (cruzando zero), outro pico, nó, outro pico, nó, outro pico, nó, e finalmente o pico externo bem afastado.
    • Coloque o pico externo aproximadamente em r\approx25a_{0}. Os picos internos ficam em regiões bem menores (algumas unidades de a_{0} até dezenas de a_{0}, mas os detalhes exatos exigem o polinômio). Marque os 4 nós internamente (onde P_{5s}=0) qualitativamente.
    • Em termos de altura: não é necessário que o pico externo do 5s seja mais alto que o pico do 1s; o importante é que ele esteja muito mais afastado. Para um esboço qualitativo, a altura pode ser comparável ou menor — o que importa é a posição.
  • Marcar os r_{\text{mp}}:
    • No gráfico, marque com setas e rótulos:
      • r_{\text{mp}}(1s)=a_{0}.
      • r_{\text{mp}}(5s) (pico externo) \approx25a_{0}.
    • Se desejar, marque também os outros máximos locais do 5s e os nós (zeros) entre eles.

Passo 6

Dado quantitativo complementar: valores de esperança para reforçar a comparação (útil na prova para argumentar).
  • A média radial \langle r\rangle no átomo de hidrogênio tem a fórmula conhecida \langle r\rangle=\frac{a_{0}}{2}\big(3n^{2}-\ell(\ell+1)\big).Para \ell=0 isso vira \langle r\rangle=\dfrac{3}{2}n^{2}a_{0}.
  • Substituindo: \langle r\rangle_{1s}=\frac{3}{2}\cdot 1^{2}a_{0}=1{,}5\,a_{0}.
\langle r\rangle_{5s}=\frac{3}{2}\cdot 5^{2}a_{0}=\frac{3}{2}\cdot 25\,a_{0}=37{,}5\,a_{0}.
Esses números confirmam quantitativamente que o elétron no 5s está, em média, muito mais distante do núcleo que no 1s.

Passo 7

Resposta qualitativa final para (c) — interpretação física e frase de encorajamento.
  • Comparando as duas distribuições:
    • O estado 1s está fortemente concentrado perto do núcleo; a maior probabilidade radial está em r=a_{0} e praticamente nenhuma probabilidade fica em r\gg a_{0}.
    • O estado 5s possui várias regiões internas de probabilidade (várias oscilações) e um pico externo bem afastado, aproximadamente em r\approx25a_{0}. Portanto há uma fração de probabilidade significativa em regiões muito mais distantes do núcleo.
  • Em palavras simples: um elétron em 5s tem bem mais chance de ser encontrado longe do núcleo do que um elétron em 1s. Não é surpresa — quanto maior n, mais “espalhada” a função de onda fica.
  • Dica de prova: se pedirem comparar, cite diretamente r_{\text{mp}}(1s)=a_{0} vs r_{\text{mp}}(5s)\approx25a_{0} e os valores de \langle r\rangle que calculei — isso é uma resposta curta, clara e tecnicamente correta.

Resposta

(a) Esboço: P_{1s}(r) é uma única campânula com pico em r=a_{0} e decaimento exponencial; P_{5s}(r) é oscilatória com 4 nós radiais e vários máximos locais, tendo o pico externo bem afastado (traçar ambas no mesmo gráfico com r em unidades de a_{0}).
(b) r_{\text{mp}}(1s)=a_{0} \
r_{\text{mp}}(5s) (pico externo) \approx 25a_{0}.
(c) O elétron no 5s tem muito maior probabilidade de ser encontrado em regiões distantes do núcleo que o elétron no 1s; numericam.mente \langle r\rangle_{1s}=1{,}5\,a_{0} e \langle r\rangle_{5s}=37{,}5\,a_{0}, confirmando que o 5s é muito mais espalhado.

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