Esboce as curvas com as equações polares dadas:
r=3

Passo 1

O enunciado dá a equação polar r=3 e pede que eu esboce a curva correspondente. Informações relevantes fornecidas:
  • A relação polar é r=3, isto é, o raio polar r vale 3 para todo ângulo \theta.
  • A pergunta é: como é a curva no plano cartesiano? (esboço/forma da curva)

Passo 2

Vou lembrar o que são coordenadas polares e como passar para cartesiano (pequena aula):
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A conversão para coordenadas cartesianas é dada por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto; r\ge 0 é a distância até a origem; \theta é o ângulo em radianos normalmente.

Passo 3

Agora substituo a condição r=3 nas fórmulas de conversão. Para todo \theta temos
x = 3\cos\theta,\qquad y = 3\sin\theta.
Isto dá uma parametrização da curva em termos de \theta.

Passo 4

Elimino o parâmetro \theta para obter a equação cartesiana da curva. Faço o seguinte: elevo cada expressão ao quadrado e somo.
x^2 = 9\cos^2\theta,\qquad y^2 = 9\sin^2\theta.
Somando as duas igualdades:
x^2 + y^2 = 9(\cos^2\theta + \sin^2\theta).
Como sabemos que \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 para todo \theta, segue
x^2 + y^2 = 9.

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação cartesiana \,x^2+y^2=9\, representa um círculo de centro na origem (0,0) e raio \sqrt{9}=3. Então a curva é exatamente esse círculo.

Passo 6

Como esboçar na folha (passo a passo prático):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque no eixo x os pontos (3,0) e (-3,0), e no eixo y os pontos (0,3) e (0,-3). Esses quatro pontos vêm de \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} respectivamente, usando x=3\cos\theta,\;y=3\sin\theta.
  • Desenhe um círculo passando por esses pontos, com centro na origem. Trace livremente; será um círculo de raio 3.
  • Ao variar \theta de 0 até 2\pi, o ponto percorre esse círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 7

Observações finais rápidas e motivação:
  • Para r constante positivo, sempre dá um círculo centrado na origem com raio igual a esse r.
  • Se r fosse negativo (por exemplo r=-3), a interpretação muda um pouco (o mesmo conjunto de pontos aparece, mas com \theta deslocado de \pi); mas aqui r=3>0 é simples: círculo de raio 3.
  • Vai dar tudo certo na prova: quando vir r= constante, pense logo em círculo centrado na origem — é uma regra prática útil!

Resposta

Círculo de raio 3 centrado na origem; equação cartesiana: x^2+y^2=9.

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