Esboce as curvas com as equações polares dadas:
Passo 1
O enunciado dá a equação polar
e pede que eu esboce a curva correspondente. Informações relevantes fornecidas:
- A relação polar é
, isto é, o raio polar vale para todo ângulo . - A pergunta é: como é a curva no plano cartesiano? (esboço/forma da curva)
Passo 2
Vou lembrar o que são coordenadas polares e como passar para cartesiano (pequena aula):
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - A conversão para coordenadas cartesianas é dada por
Aqui
e
são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto;
é a distância até a origem;
é o ângulo em radianos normalmente.
Passo 3
Agora substituo a condição
nas fórmulas de conversão. Para todo
temos
Isto dá uma parametrização da curva em termos de
.
Passo 4
Elimino o parâmetro
para obter a equação cartesiana da curva. Faço o seguinte: elevo cada expressão ao quadrado e somo.
Somando as duas igualdades:
Como sabemos que
para todo
, segue
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação cartesiana
representa um círculo de centro na origem
e raio
. Então a curva é exatamente esse círculo.
Passo 6
Como esboçar na folha (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . - Marque no eixo
os pontos e , e no eixo os pontos e . Esses quatro pontos vêm de respectivamente, usando . - Desenhe um círculo passando por esses pontos, com centro na origem. Trace livremente; será um círculo de raio
. - Ao variar
de até , o ponto percorre esse círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 7
Observações finais rápidas e motivação:
- Para
constante positivo, sempre dá um círculo centrado na origem com raio igual a esse . - Se
fosse negativo (por exemplo ), a interpretação muda um pouco (o mesmo conjunto de pontos aparece, mas com deslocado de ); mas aqui é simples: círculo de raio . - Vai dar tudo certo na prova: quando vir
constante, pense logo em círculo centrado na origem — é uma regra prática útil!
Resposta
Círculo de raio
centrado na origem; equação cartesiana:
.