Converta de coordenadas cartesianas para polares ( r \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi ):
(-2,2 \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas polares, com as restrições r \ge 0 e 0 \le \theta < 2\pi.
Dados fornecidos: x = -2 e y = 2\sqrt{3}.
Objetivo: encontrar r e \theta tais que o ponto cartesiano (x,y)=(-2,2\sqrt{3}) corresponda ao ponto polar (r,\theta).

Passo 2

Para achar r usamos a fórmula que vem do teorema de Pitágoras:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas do ponto. Substituindo x=-2 e y=2\sqrt{3}:
x^{2}=(-2)^{2}=4,
y^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3=12,
r=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.
Então r=4.

Passo 3

Para achar \theta usamos a relação da tangente:
\tan(\theta)=\frac{y}{x}.
Substituindo:
\tan(\theta)=\frac{2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}.
A equação \tan(\theta)=-\sqrt{3} tem ângulos cujas tangentes têm valor -\sqrt{3}. O ângulo de referência cuja tangente é \sqrt{3} é \pi/3 (ou 60^\circ), portanto soluções gerais para \tan(\theta)=-\sqrt{3} são \theta=-\pi/3 ou \theta=\pi-\pi/3, etc.

Passo 4

Precisamos escolher a solução correta observando o quadrante do ponto original. O ponto (-2,2\sqrt{3}) tem x<0 e y>0, portanto está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo \theta satisfaz
\theta=\pi-\text{(ângulo de referência)}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.âê
Isso dá \tan\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}, compatível com o valor calculado, e \frac{2\pi}{3} está no intervalo solicitado 0\le\theta<2\pi.

Passo 5

Verificações finais: temos r=4\ge 0 e \theta=\frac{2\pi}{3}\in[0,2\pi). Assim as coordenadas polares pedidas são (r,\theta)=(4,\frac{2\pi}{3}).

Resposta

\displaystyle (4,\tfrac{2\pi}{3})

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