Esboce as curvas com as equações polares dadas:
r=e^{\theta / 2} (espiral logarítmica)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a curva dada na forma polar
r = e^{\theta/2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{equação polar: } r(\theta)=e^{\theta/2}.çã
Não há mais dados (como intervalo de \theta dado), então eu vou considerar \theta variando ao longo de valores reais para entender a forma completa da curva e escolher um intervalo prático para o esboço.

Passo 2

Lembrete rápido e prático sobre coordenadas polares (para você não se perder):
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao polo (origem) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Para plotar a curva polar, é útil pensar em \theta como parâmetro e calcular r(\theta) para vários valores de \theta.
  • Podemos também escrever a curva em coordenadas cartesianas como função paramétrica:
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Aqui r(\theta)=e^{\theta/2}, então
x(\theta)=e^{\theta/2}\cos\theta,\qquad y(\theta)=e^{\theta/2}\sin\theta.

Passo 3

Identificar o tipo da curva e uma forma alternativa útil:
  • A equação r=e^{\theta/2} é do tipo espiral logarítmica porque, tomando logaritmo natural,
\ln r = \frac{\theta}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \theta = 2\ln r.
Ou, em forma padrão de espiral logarítmica r=a e^{b\theta}, aqui a=1 e b=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Comportamento extremo (muito importante para o esboço):
  • Quando \theta\to -\infty temos r=e^{\theta/2}\to 0. A curva se aproxima do polo (origem).
  • Quando \theta\to +\infty temos r\to +\infty. A curva vai crescendo e se afasta do polo.
  • Portanto a espiral parte “perto do zero” para \theta muito negativo e vai abrindo-se para \theta positivo.

Passo 5

Calcular pontos específicos para guiar o desenho (escrevo \theta e o correspondente r):
  • Para \theta=0:
r(0)=e^{0/2}=1.
Ponto polar (r,\theta)=(1,0) que em cartesiano é (1,0).
  • Para \theta=2:
r(2)=e^{2/2}=e^{1}=e\approx 2{,}718.
  • Para \theta=-2:
r(-2)=e^{-2/2}=e^{-1}\approx 0{,}368.
  • Para \theta=2\pi (uma volta completa):
r(2\pi)=e^{\pi}\approx 23{,}14.
  • Para \theta=-2\pi:
r(-2\pi)=e^{-\pi}\approx 0{,}0432.
Esses valores já mostram algo importante: ao aumentar \theta de 0 para 2\pi (uma volta), r cresce por um fator
\frac{r(2\pi)}{r(0)}=e^{\pi}\approx 23{,}14,
ou seja, a espiral cresce muito rápido a cada volta — as voltas ficam bastante espaçadas.

Passo 6

Orientação e sentido da curva:
  • Em coordenadas polares, aumentando \theta o ângulo gira no sentido anti-horário (o padrão). Logo a espiral é percorrida no sentido anti-horário quando \theta aumenta.
  • Para \theta negativo a curva está mais próxima do polo e gira também anti-horário para valores crescentes de \theta até cruzar o eixo \theta=0 em r=1 e seguir se afastando.

Passo 7

Propriedade geométrica útil (ajuda no entendimento do formato):
  • Espirais logarítmicas são equiangulares: o ângulo \varphi entre o vetor radial (direção de r) e a direção tangente da curva é constante.
  • Para r=a e^{b\theta} tem-se dr/d\theta = b r. Usando componentes tangente radial e transversal, obtém-se
\tan\varphi=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{1}{b}.
  • No nosso caso b=\tfrac{1}{2}, então
\tan\varphi=\frac{1}{1/2}=2\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\arctan(2)\approx 63{,}43^\circ.
Isto significa que em qualquer ponto a tangente faz cerca de 63{,}4^\circ com o raio — característica típica da espiral logarítmica.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (método prático para prova, sem calculadora complicada):
  1. Desenhe os eixos polares: marcações angulares em 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, etc.
  2. Marque o ponto para \theta=0 em r=1 (ponto (1,0)).
  3. Marque o ponto para \theta=-2\pi com r\approx 0{,}043 bem perto do polo — isso mostra como a espiral se aproxima do centro para \theta negativos grandes.
  4. Marque \theta=2 com r\approx 2{,}718 e \theta=2\pi com r\approx 23 (esta última fica bem longe, então no esboço você pode representar isso por uma volta larga).
  5. Una esses pontos traçando uma curva que gira anti-horário: comece muito perto da origem para \theta negativo, dê voltas que se abrem progressivamente e, ao passar por \theta=0, atinja r=1, e em voltas seguintes vá muito rapidamente para fora.
  6. Lembre-se: cada volta (incremento \Delta\theta=2\pi) amplia r por um fator e^{\pi}\approx 23, então desenhe as voltas cada vez muito mais afastadas.

Passo 9

Observações finais e dicas para o esboço visual:
  • Como r cresce exponencialmente com \theta, nos primeiros giros perto do polo a curva parece apertada; depois se afasta rápido.
  • Para um esboço num caderno aconselho usar \theta no intervalo aproximadamente [-2\pi,\,2\pi] — isso mostra bem a aproximação ao polo para negativos e a forte abertura para positivos.
  • Se precisar de uma curva mais densa perto da origem, usar valores como \theta=-4,-2,-1,0,1,2,4 e marcar os r correspondentes ajuda muito.

Resposta

Esboço: espiral logarítmica equiangular dada por r=e^{\theta/2}, que se aproxima do polo quando \theta\to -\infty e diverge quando \theta\to +\infty; passa por r(0)=1, r(2)=e, r(-2)=e^{-1}, cada volta ( \Delta\theta=2\pi) multiplica r por e^{\pi}\approx 23{,}14 e o sentido é anti-horário; o ângulo entre raio e tangente é \varphi=\arctan(2)\approx 63{,}43^\circ.

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