Esboce as curvas com as equações polares dadas:
(espiral logarítmica)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a curva dada na forma polar
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Não há mais dados (como intervalo de
dado), então eu vou considerar
variando ao longo de valores reais para entender a forma completa da curva e escolher um intervalo prático para o esboço.
Passo 2
Lembrete rápido e prático sobre coordenadas polares (para você não se perder):
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, onde é a distância ao polo (origem) e é o ângulo medido a partir do eixo positivo . - Para plotar a curva polar, é útil pensar em
como parâmetro e calcular para vários valores de . - Podemos também escrever a curva em coordenadas cartesianas como função paramétrica:
Aqui
, então
Passo 3
Identificar o tipo da curva e uma forma alternativa útil:
- A equação
é do tipo espiral logarítmica porque, tomando logaritmo natural,
Ou, em forma padrão de espiral logarítmica
, aqui
e
.
Passo 4
Comportamento extremo (muito importante para o esboço):
- Quando
temos . A curva se aproxima do polo (origem). - Quando
temos . A curva vai crescendo e se afasta do polo. - Portanto a espiral parte “perto do zero” para
muito negativo e vai abrindo-se para positivo.
Passo 5
Calcular pontos específicos para guiar o desenho (escrevo
e o correspondente
):
- Para
:
Ponto polar
que em cartesiano é
.
- Para
:
- Para
:
- Para
(uma volta completa):
- Para
:
Esses valores já mostram algo importante: ao aumentar
de
para
(uma volta),
cresce por um fator
ou seja, a espiral cresce muito rápido a cada volta — as voltas ficam bastante espaçadas.
Passo 6
Orientação e sentido da curva:
- Em coordenadas polares, aumentando
o ângulo gira no sentido anti-horário (o padrão). Logo a espiral é percorrida no sentido anti-horário quando aumenta. - Para
negativo a curva está mais próxima do polo e gira também anti-horário para valores crescentes de até cruzar o eixo em e seguir se afastando.
Passo 7
Propriedade geométrica útil (ajuda no entendimento do formato):
- Espirais logarítmicas são equiangulares: o ângulo
entre o vetor radial (direção de ) e a direção tangente da curva é constante. - Para
tem-se . Usando componentes tangente radial e transversal, obtém-se
- No nosso caso
, então
Isto significa que em qualquer ponto a tangente faz cerca de
com o raio — característica típica da espiral logarítmica.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (método prático para prova, sem calculadora complicada):
- Desenhe os eixos polares: marcações angulares em
, , , , etc. - Marque o ponto para
em (ponto ). - Marque o ponto para
com bem perto do polo — isso mostra como a espiral se aproxima do centro para negativos grandes. - Marque
com e com (esta última fica bem longe, então no esboço você pode representar isso por uma volta larga). - Una esses pontos traçando uma curva que gira anti-horário: comece muito perto da origem para
negativo, dê voltas que se abrem progressivamente e, ao passar por , atinja , e em voltas seguintes vá muito rapidamente para fora. - Lembre-se: cada volta (incremento
) amplia por um fator , então desenhe as voltas cada vez muito mais afastadas.
Passo 9
Observações finais e dicas para o esboço visual:
- Como
cresce exponencialmente com , nos primeiros giros perto do polo a curva parece apertada; depois se afasta rápido. - Para um esboço num caderno aconselho usar
no intervalo aproximadamente — isso mostra bem a aproximação ao polo para negativos e a forte abertura para positivos. - Se precisar de uma curva mais densa perto da origem, usar valores como
e marcar os correspondentes ajuda muito.
Resposta
Esboço: espiral logarítmica equiangular dada por
, que se aproxima do polo quando
e diverge quando
; passa por
,
,
, cada volta (
) multiplica
por
e o sentido é anti-horário; o ângulo entre raio e tangente é
.