esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Esboçar as curvas de nível da função
(ou seja, os conjuntos para vários valores de ). - Esboçar o gráfico da superfície
.
Informações que o enunciado fornece:
- A função é
. - Domínio natural: todos os pares
. - Não há valores numéricos adicionais; então vamos caracterizar as curvas de nível para um parâmetro genérico
e depois dar exemplos concretos (valores de ) para esboçar.
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
- Para um número fixo
, a curva de nível de nível é o conjunto
- Isso significa que substituímos
por e resolvemos a relação entre e .
Aplicando isso à função dada:
Isolando
temos a equação explícita da curva de nível:
Explicando cada parte desta fórmula:
- A variável
é livre (pode ser qualquer número real) e fica determinado por essa fórmula. - Para cada
fixo obtemos uma parábola no plano .
Passo 3
Características geométricas das curvas de nível (como desenhar):
- A curva
é uma parábola com: - vértice em
; - eixo de simetria paralelo ao eixo
(ou seja, eixo vertical); - abre para cima (pois o coeficiente de
é positivo).
- vértice em
- Como
varia, o vértice desloca-se verticalmente: para aumentar o vértice desce ( -vértice = ). - Exemplos concretos (úteis para esboçar):
- Para
: . Vértice em . - Para
: . Vértice em . Interseções com o eixo em . - Para
: . Vértice em . Não corta o eixo (pois ). - Para
: . Vértice em . - Para
: . Vértice em .
- Para
- Dica prática para o esboço: desenhe várias parábolas
para . Elas são todas congruentes (mesma forma), apenas deslocadas verticalmente.
Passo 4
Como transformar as curvas de nível no esboço do gráfico 3D (intuição):
- O gráfico da função é a superfície
- A relação com as curvas de nível: a curva de nível de valor
é a interseção da superfície com o plano horizontal . Ou seja, para cada a curva em 3D é
- Logo, cada parábola
no plano aparece “erguida” no plano horizontal . Visualmente, a superfície é formada por essa família de parábolas empilhadas em alturas diferentes.
Passo 5
Seções transversais (atalhos para desenhar o sólido):
- Sefazermos a interseção com um plano
(plano paralelo ao eixo ), obtemos
Isto é, para cada
fixo a seção é uma parábola no plano
com vértice em
(abre na direção positiva de
). Portanto ao longo da direção
o perfil é parabólico.
- Se fazermos a interseção com um plano
(plano paralelo ao eixo ), obtemos
que é uma reta no plano
(reta de inclinação
em relação ao eixo
). Isso mostra que, para cada
fixo, a curva gerada ao variar
é uma linha reta — portanto a superfície contém geradores retos paralelos (é uma superfície regrada).
- Conclusão importante (classificação): existe apenas um termo quadrático (
), por isso a superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder), ou seja, uma “parábola deslocada por uma direção linear” — não é uma casca elíptica dupla em e , mas sim uma família de retas e parábolas combinadas.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (receita prática; faça isso na prova):
- No plano
: desenhe o esboço das curvas de nível para alguns (por exemplo ). Marque os vértices em . - Trace o eixo
perpendicular ao plano . Para cada curva de nível de valor , levante-a ao nível (isto é, copie a parábola para a altura ). - Para ajudar a forma 3D, desenhe seções em planos
const (vê-se parábolas em ) e em planos const (vê-se retas em ). Essas seções confirmam a forma: perfil parabólico ao longo de ; linhas retas ao longo de . - Opcional: desenhe algumas linhas geradoras da forma
para vários . Isso evidencia que a superfície é regrada (linhas paralelas de direção ).
Passo 7
Interpretações adicionais e dicas úteis para prova:
- Gradiente e direção máxima de subida:
. Ele é perpendicular às curvas de nível; quando precisar indicar a direção em que cresce mais rápido, use . - Pontos críticos: resolvendo
obtemos e (impossível). Logo não há pontos críticos — a função não tem máximos ou mínimos locais no domínio todo. - Interceptos: intercepto com plano
é dado por ou (a curva de nível ). Interseção com eixo (isto é, ) tem .
Resposta
Curvas de nível:
, ou seja, curvas de nível são parábolas
com vértice em
e eixo vertical.
Gráfico da superfície:
. É um cilindro parabólico (superfície gerada por parábolas ao longo do eixo
e por retas ao longo do eixo
). Seções
dão parábolas
(perfil em
), e seções
dão retas
(em
).