esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y)=x^{2}-y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Esboçar as curvas de nível da função f (ou seja, os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para vários valores de c).
  • Esboçar o gráfico da superfície z=f(x,y).
Informações que o enunciado fornece:
  • A função é f(x,y)=x^{2}-y.
  • Domínio natural: todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Não há valores numéricos adicionais; então vamos caracterizar as curvas de nível para um parâmetro genérico c e depois dar exemplos concretos (valores de c) para esboçar.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
  • Para um número fixo c, a curva de nível de nível c é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c\}.
  • Isso significa que substituímos f(x,y) por c e resolvemos a relação entre x e y.
Aplicando isso à função dada:
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-y=c.
Isolando y temos a equação explícita da curva de nível:
y = x^{2}-c.
Explicando cada parte desta fórmula:
  • A variável x é livre (pode ser qualquer número real) e y fica determinado por essa fórmula.
  • Para cada c fixo obtemos uma parábola no plano xy.

Passo 3

Características geométricas das curvas de nível (como desenhar):
  • A curva y=x^{2}-c é uma parábola com:
    • vértice em (0,-c);
    • eixo de simetria paralelo ao eixo y (ou seja, eixo vertical);
    • abre para cima (pois o coeficiente de x^{2} é positivo).
  • Como c varia, o vértice desloca-se verticalmente: para aumentar c o vértice desce ( y-vértice = -c).
  • Exemplos concretos (úteis para esboçar):
    • Para c=0: y=x^{2}. Vértice em (0,0).
    • Para c=1: y=x^{2}-1. Vértice em (0,-1). Interseções com o eixo x em x=\pm1.
    • Para c=-1: y=x^{2}+1. Vértice em (0,1). Não corta o eixo x (pois x^{2}+1\ge1).
    • Para c=2: y=x^{2}-2. Vértice em (0,-2).
    • Para c=-2: y=x^{2}+2. Vértice em (0,2).
  • Dica prática para o esboço: desenhe várias parábolas y=x^{2}-c para c=-2,-1,0,1,2. Elas são todas congruentes (mesma forma), apenas deslocadas verticalmente.

Passo 4

Como transformar as curvas de nível no esboço do gráfico 3D (intuição):
  • O gráfico da função é a superfície
z=f(x,y)=x^{2}-y.
  • A relação com as curvas de nível: a curva de nível de valor c é a interseção da superfície com o plano horizontal z=c. Ou seja, para cada c a curva em 3D é
\{(x,y,z) \mid y = x^{2}-c,\\ z=c\}.
  • Logo, cada parábola y=x^{2}-c no plano xy aparece “erguida” no plano horizontal z=c. Visualmente, a superfície é formada por essa família de parábolas empilhadas em alturas diferentes.

Passo 5

Seções transversais (atalhos para desenhar o sólido):
  • Sefazermos a interseção com um plano y=y_{0} (plano paralelo ao eixo xz), obtemos
z = x^{2}-y_{0}.
Isto é, para cada y_{0} fixo a seção é uma parábola no plano xz com vértice em (x,z)=(0,-y_{0}) (abre na direção positiva de z). Portanto ao longo da direção x o perfil é parabólico.
  • Se fazermos a interseção com um plano x=x_{0} (plano paralelo ao eixo yz), obtemos
z = x_{0}^{2}-y,
que é uma reta no plano yz (reta de inclinação -1 em relação ao eixo y). Isso mostra que, para cada x_{0} fixo, a curva gerada ao variar y é uma linha reta — portanto a superfície contém geradores retos paralelos (é uma superfície regrada).
  • Conclusão importante (classificação): existe apenas um termo quadrático ( x^{2}), por isso a superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder), ou seja, uma “parábola deslocada por uma direção linear” — não é uma casca elíptica dupla em x e y, mas sim uma família de retas e parábolas combinadas.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (receita prática; faça isso na prova):
  1. No plano xy: desenhe o esboço das curvas de nível y=x^{2}-c para alguns c (por exemplo c=-2,-1,0,1,2). Marque os vértices em (0,-c).
  2. Trace o eixo z perpendicular ao plano xy. Para cada curva de nível de valor c, levante-a ao nível z=c (isto é, copie a parábola para a altura z=c).
  3. Para ajudar a forma 3D, desenhe seções em planos y=const (vê-se parábolas em xz) e em planos x=const (vê-se retas em yz). Essas seções confirmam a forma: perfil parabólico ao longo de x; linhas retas ao longo de y.
  4. Opcional: desenhe algumas linhas geradoras da forma (x_{0},t,x_{0}^{2}-t)=(x_{0},0,x_{0}^{2})+t(0,1,-1) para vários x_{0}. Isso evidencia que a superfície é regrada (linhas paralelas de direção (0,1,-1)).

Passo 7

Interpretações adicionais e dicas úteis para prova:
  • Gradiente e direção máxima de subida: \nabla f(x,y)=(2x,-1). Ele é perpendicular às curvas de nível; quando precisar indicar a direção em que f cresce mais rápido, use \nabla f.
  • Pontos críticos: resolvendo \nabla f=(0,0) obtemos 2x=0 e -1=0 (impossível). Logo não há pontos críticos — a função não tem máximos ou mínimos locais no domínio todo.
  • Interceptos: intercepto com plano z=0 é dado por x^{2}-y=0 ou y=x^{2} (a curva de nível c=0). Interseção com eixo z (isto é, x=0,y=0) tem z=0.

Resposta

Curvas de nível: \;f(x,y)=c\iff y=x^{2}-c, ou seja, curvas de nível são parábolas y=x^{2}-c com vértice em (0,-c) e eixo vertical.
Gráfico da superfície: \;z=x^{2}-y. É um cilindro parabólico (superfície gerada por parábolas ao longo do eixo x e por retas ao longo do eixo y). Seções y=y_{0} dão parábolas z=x^{2}-y_{0} (perfil em xz), e seções x=x_{0} dão retas z=x_{0}^{2}-y (em yz).

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