utilize os planos x=k, y=k e z=k para fazer um esboço da superfície de nível de cada uma das funções abaixo f associada ao nível w=0.
w=f(x, y, z)=x^{2}+2-z

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede que façamos um esboço da superfície de nível correspondente ao nível w=0, usando as interseções com os planos x=k, y=k e z=k. Informações relevantes fornecidas:
  • f(x,y,z)=x^{2}+2-z.
  • Queremos a superfície de nível associada a w=0, ou seja os pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=0.
  • Devemos analisar/usar as interseções da superfície com os planos x=k, y=k e z=k (para parâmetros k quaisquer) para orientar o esboço.

Passo 2

Definição e primeiro passo algébrico: superfície de nível.
  • Uma superfície de nível para w=0 é o conjunto de pontos que satisfazem \,f(x,y,z)=0.
  • Substituindo f obtemos a equação da superfície:
x^{2}+2-z=0.
  • Isolando z fica
z = x^{2} + 2.
Explanação didática: essa equação relaciona x e z; a variável y não aparece, portanto a altura z depende apenas de x. Isso já dá uma pista forte sobre a forma geométrica (ver passos seguintes).

Passo 3

Interpretação geométrica básica (sem ainda usar as três famílias de planos).
  • A curva z = x^{2}+2 no plano y=0 é uma parábola no plano xz com vértice em (x,z)=(0,2) que abre para cima (em direção positiva de z).
  • Como y não entra na equação, essa parábola é repetida para todo valor de y. Geometricamente, isso significa que a superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder): a parábola em xz é “esticada” ao longo do eixo y.
  • Resultado: superfície é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo y, vértice ao longo da reta \{(0,y,2)\mid y\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Interseção com o plano x=k.
  • Colocar x=k na equação da superfície dá
z = k^{2} + 2,
independente de y.
  • Interpretação: em cada plano vertical x=k (plano paralelo ao plano yz), a interseção com a superfície é a reta paralela ao eixo y localizada na altura z=k^{2}+2.
  • Exemplos numéricos úteis para desenhar: para k=0 a reta está em z=2; para k=1 em z=3; para k=2 em z=6. Esses segmentos retos, para vários k, formam uma “família de retas” que, vistas de projeção no plano xz, seguem a parábola z=x^{2}+2.

Passo 5

Interseção com o plano y=k.
  • Colocando y=k (um plano vertical paralelo ao plano xz), a equação da superfície permanece
z = x^{2} + 2,
ou seja, dentro do plano y=k vemos exatamente a mesma parábola em x e z.
  • Interpretação: cada plano y=k corta a superfície em uma parábola idêntica; essas parábolas, para diferentes k, são paralelas entre si (estão em planos diferentes) e mostram que a superfície é constante ao “longo” de y.

Passo 6

Interseção com o plano z=k.
  • Colocando z=k obtemos
k = x^{2} + 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = k-2.
  • Analisar casos:
    • Se k<2 então k-2<0 e não há solução real: o plano z=k não intercepta a superfície.
    • Se k=2 então x^{2}=0 e x=0: a interseção é a reta \{(0,y,2)\mid y\in\mathbb{R}\} (uma única reta vertical).
    • Se k>2 então x=\pm\sqrt{k-2}: a interseção é a união de duas retas paralelas ao eixo y, localizadas em x=\pm\sqrt{k-2} no plano z=k.
  • Exemplos: para k=3 tem-se x=\pm1 (duas retas em z=3); para k=6 tem-se x=\pm2 (duas retas em z=6).

Passo 7

Como montar o esboço passo a passo na folha (dicas práticas de desenho).
  • Passo A: desenhe os eixos x, y, z com z vertical, x horizontal na folha e y saindo/entrando (ou desenhe perspectiva).
  • Passo B: no plano y=0 (plano xz) desenhe a parábola z=x^{2}+2. Marque o vértice em (0,2) e mostre que para x=\pm1 temos z=3, para x=\pm2 temos z=6.
  • Passo C: para indicar que a parábola se repete em todas as direções y, desenhe várias cópias da parábola em planos y=k próximos (linhas curvas ligeiramente deslocadas) ou simplesmente “extruda” a parábola ao longo do eixo y, traçando linhas retas paralelas ao eixo y passando por pontos da parábola.
  • Passo D: use também interseções com planos horizontais z=k: por exemplo desenhe as retas em z=3 em x=\pm1 e em z=6 em x=\pm2 para reforçar a forma cilíndrica. Para z<2 não haverá interseção.
  • Resultado visual esperado: um cilindro parabólico com eixo paralelo a y, “aberto” para cima, vértice ao nível z=2 ao longo da reta (0,y,2).

Passo 8

Resumo conceitual final (para decorar e usar na prova).
  • A superfície de nível f(x,y,z)=0 é dada por \,z=x^{2}+2.
  • É um cilindro parabólico (independente de y), com vértice na reta \{(0,y,2)\}.
  • Interseções:
    • Plano x=k: reta z=k^{2}+2, paralela a y.
    • Plano y=k: parábola z=x^{2}+2 (mesma curva em cada plano y=k).
    • Plano z=k: vazio se k<2; reta x=0 se k=2; duas retas x=\pm\sqrt{k-2} se k>2.

Resposta

z=x^{2}+2 (cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo y, vértice na reta \{(0,y,2)\}).
Interseções:
x=k\Rightarrow z=k^{2}+2 (reta paralela a y).
y=k\Rightarrow z=x^{2}+2 (parábola no plano y=k).
z=k\Rightarrow vazio se k<2; x=0 se k=2; x=\pm\sqrt{k-2} (duas retas, para todo y) se k>2.

Exercícios relacionados