utilize os planos
e
para fazer um esboço da superfície de nível de cada uma das funções abaixo
associada ao nível
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que façamos um esboço da superfície de nível correspondente ao nível
, usando as interseções com os planos
,
e
. Informações relevantes fornecidas:
-
. - Queremos a superfície de nível associada a
, ou seja os pontos tais que . - Devemos analisar/usar as interseções da superfície com os planos
, e (para parâmetros quaisquer) para orientar o esboço.
Passo 2
Definição e primeiro passo algébrico: superfície de nível.
- Uma superfície de nível para
é o conjunto de pontos que satisfazem . - Substituindo
obtemos a equação da superfície:
- Isolando
fica
Explanação didática: essa equação relaciona
e
; a variável
não aparece, portanto a altura
depende apenas de
. Isso já dá uma pista forte sobre a forma geométrica (ver passos seguintes).
Passo 3
Interpretação geométrica básica (sem ainda usar as três famílias de planos).
- A curva
no plano é uma parábola no plano com vértice em que abre para cima (em direção positiva de ). - Como
não entra na equação, essa parábola é repetida para todo valor de . Geometricamente, isso significa que a superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder): a parábola em é “esticada” ao longo do eixo . - Resultado: superfície é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo
, vértice ao longo da reta .
Passo 4
Interseção com o plano
.
- Colocar
na equação da superfície dá
independente de
.
- Interpretação: em cada plano vertical
(plano paralelo ao plano ), a interseção com a superfície é a reta paralela ao eixo localizada na altura . - Exemplos numéricos úteis para desenhar: para
a reta está em ; para em ; para em . Esses segmentos retos, para vários , formam uma “família de retas” que, vistas de projeção no plano , seguem a parábola .
Passo 5
Interseção com o plano
.
- Colocando
(um plano vertical paralelo ao plano ), a equação da superfície permanece
ou seja, dentro do plano
vemos exatamente a mesma parábola em
e
.
- Interpretação: cada plano
corta a superfície em uma parábola idêntica; essas parábolas, para diferentes , são paralelas entre si (estão em planos diferentes) e mostram que a superfície é constante ao “longo” de .
Passo 6
Interseção com o plano
.
- Colocando
obtemos
- Analisar casos:
- Se
então e não há solução real: o plano não intercepta a superfície. - Se
então e : a interseção é a reta (uma única reta vertical). - Se
então : a interseção é a união de duas retas paralelas ao eixo , localizadas em no plano .
- Se
- Exemplos: para
tem-se (duas retas em ); para tem-se (duas retas em ).
Passo 7
Como montar o esboço passo a passo na folha (dicas práticas de desenho).
- Passo A: desenhe os eixos
, , com vertical, horizontal na folha e saindo/entrando (ou desenhe perspectiva). - Passo B: no plano
(plano ) desenhe a parábola . Marque o vértice em e mostre que para temos , para temos . - Passo C: para indicar que a parábola se repete em todas as direções
, desenhe várias cópias da parábola em planos próximos (linhas curvas ligeiramente deslocadas) ou simplesmente “extruda” a parábola ao longo do eixo , traçando linhas retas paralelas ao eixo passando por pontos da parábola. - Passo D: use também interseções com planos horizontais
: por exemplo desenhe as retas em em e em em para reforçar a forma cilíndrica. Para não haverá interseção. - Resultado visual esperado: um cilindro parabólico com eixo paralelo a
, “aberto” para cima, vértice ao nível ao longo da reta .
Passo 8
Resumo conceitual final (para decorar e usar na prova).
- A superfície de nível
é dada por . - É um cilindro parabólico (independente de
), com vértice na reta . - Interseções:
- Plano
: reta , paralela a . - Plano
: parábola (mesma curva em cada plano ). - Plano
: vazio se ; reta se ; duas retas se .
- Plano
Resposta
Interseções: