esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Esboçar as curvas de nível (as curvas no plano
onde é constante). - Esboçar o gráfico tridimensional da função (a superfície
).
Informações relevantes dadas:
- A fórmula explícita de
: . - Não há restrição adicional no enunciado (domínio é todo
).
Passo 2
Definir curvas de nível e montar a equação geral.
Curvas de nível são as curvas obtidas fixando
, onde
é uma constante real. Então começamos por escrever
Aqui
é um número real que indica o valor da função ao longo dessa curva. Em termos práticos, para cada
fixo obtemos uma curva no plano
.
Passo 3
Identificar a forma da curva de nível e as condições em
.
A equação
é uma equação quadrática em
. Para ver a forma padrão, divida ambos os lados por
(assumindo
):
Isto é a equação padrão de uma elipse centrada na origem. Portanto:
- Se
: a curva de nível é uma elipse com semi-eixo na direção igual a e semi-eixo na direção igual a . - Se
: — a curva degenerada é apenas o ponto . - Se
: não há pontos reais que satisfaçam a equação (nenhuma curva).
Expliquei as variáveis:
e
são as coordenadas no plano;
é o valor constante da função ao longo da curva;
e
são comprimentos (positivos) dos semi-eixos.
Passo 4
Compute alguns exemplos numéricos para desenhar curvas de nível concretas (valores práticos para a prova).
Escolha alguns valores de
e calcule os semi-eixos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Esses pontos de interceptação com os eixos ajudam a esboçar as elipses: por exemplo, para
a elipse intercepta o eixo
em
e o eixo
em
.
Passo 5
Instruções passo a passo para esboçar as curvas de nível no plano
(modo prático para prova).
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (faça a escala igual nos dois eixos se possível). - Plote o ponto
(é a curva de nível ). - Para cada
escolhido (por exemplo ), desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos ao longo de e ao longo de . Use os interceptos e para orientar a elipse. - Lembre-se: quanto maior
, maior a elipse; as elipses são todas semelhantes (mesma forma), apenas escaladas com fator (mais precisamente, o eixo escala com e o eixo com ). - Não desenhe curvas para
.
Dica: marcar duas ou três elipses (uma pequena, uma média e uma grande) já comunica bem o comportamento.
Passo 6
Interpretar e explicar o gráfico tridimensional
.
Ponha
. Esta é uma superfície do tipo paraboloide elíptico com as seguintes propriedades:
- Vértice em
(o valor mínimo de é em ). - Abre para cima (pois os coeficientes de
e são positivos). - As seções transversais:
- Para
(plano que contém o eixo ): — parábola mais “íngreme”. - Para
(plano que contém o eixo ): — parábola menos íngreme.
- Para
- A diferença de coeficientes (
em vs em ) faz com que a curvatura seja maior na direção (o vale é mais estreito nessa direção).
Passo 7
Como esboçar a superfície 3D passo a passo (modo prático para prova, sem necessidade de software).
- Desenhe três eixos:
(horizontal), (horizontal, orthogonal ao no plano), e (vertical). - Marque o vértice
. - Desenhe as duas seções principais:
- No plano
: desenhe a parábola no plano . - No plano
: desenhe a parábola no plano .
- No plano
- Coloque alguns pontos para orientar a forma:
-
e (estes estão mais altos do que porque coeficiente de é maior). -
e . -
etc.
-
- Desenhe curvas de nível projetadas no plano
(conforme desenhadas nos passos anteriores) e imagine essas elipses sendo “levantadas” até a altura . Conecte suavemente as elipses empilhadas formando uma espécie de “tigela” elíptica. - Realce que a superfície é simétrica em torno dos planos
e .
Passo 8
Conselhos finais e coisas para comentar na prova (o que escrever rapidamente).
- Escreva explicitamente a equação das curvas de nível:
. - Indique semi-eixos:
, . - Descreva a superfície em uma linha:
é um paraboloide elíptico com vértice em que abre para cima; curvatura maior na direção . - Se for pedido um esboço, desenhe pelo menos três curvas de nível no plano e duas seções parabólicas no 3D (nos planos
e ).
Força aí — com essas instruções dá para fazer um esboço claro em poucos minutos na prova.
Resposta
Curvas de nível:
(elipses centradas na origem com semi-eixos
e
;
reduz ao ponto
;
não existe).
Gráfico 3D:
é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em
; seção em
é
(parábola mais íngreme) e seção em
é
(parábola menos íngreme).