esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+y^{2} e pede duas coisas:
  • Esboçar as curvas de nível (as curvas no plano xy onde f é constante).
  • Esboçar o gráfico tridimensional da função (a superfície z=f(x,y)).
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita de f: f(x,y)=2x^{2}+y^{2}.
  • Não há restrição adicional no enunciado (domínio é todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Definir curvas de nível e montar a equação geral.
Curvas de nível são as curvas obtidas fixando f(x,y)=c, onde c é uma constante real. Então começamos por escrever
2x^{2}+y^{2}=c.
Aqui c é um número real que indica o valor da função ao longo dessa curva. Em termos práticos, para cada c fixo obtemos uma curva no plano xy.

Passo 3

Identificar a forma da curva de nível e as condições em c.
A equação \;2x^{2}+y^{2}=c\; é uma equação quadrática em x,y. Para ver a forma padrão, divida ambos os lados por c (assumindo c\neq0):
\frac{x^{2}}{c/2}+\frac{y^{2}}{c}=1.
Isto é a equação padrão de uma elipse centrada na origem. Portanto:
  • Se c>0: a curva de nível é uma elipse com semi-eixo na direção x igual a \sqrt{c/2} e semi-eixo na direção y igual a \sqrt{c}.
  • Se c=0: \;2x^{2}+y^{2}=0\Rightarrow x=0,y=0 — a curva degenerada é apenas o ponto (0,0).
  • Se c<0: não há pontos reais que satisfaçam a equação (nenhuma curva).
Expliquei as variáveis: x e y são as coordenadas no plano; c é o valor constante da função ao longo da curva; \sqrt{c/2} e \sqrt{c} são comprimentos (positivos) dos semi-eixos.

Passo 4

Compute alguns exemplos numéricos para desenhar curvas de nível concretas (valores práticos para a prova).
Escolha alguns valores de c e calcule os semi-eixos:
  • Para c=0{,}5: a_x=\sqrt{\frac{c}{2}}=\sqrt{\frac{0{,}5}{2}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5, \qquad a_y=\sqrt{c}=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707.
  • Para c=1: a_x=\sqrt{\frac{1}{2}}\approx0{,}707,\qquad a_y=\sqrt{1}=1.
  • Para c=2: a_x=\sqrt{\frac{2}{2}}=1,\qquad a_y=\sqrt{2}\approx1{,}414.
  • Para c=4: a_x=\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}414,\qquad a_y=\sqrt{4}=2.
Esses pontos de interceptação com os eixos ajudam a esboçar as elipses: por exemplo, para c=2 a elipse intercepta o eixo x em (\pm1,0) e o eixo y em (0,\pm\sqrt{2}).

Passo 5

Instruções passo a passo para esboçar as curvas de nível no plano xy (modo prático para prova).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (faça a escala igual nos dois eixos se possível).
  2. Plote o ponto (0,0) (é a curva de nível c=0).
  3. Para cada c>0 escolhido (por exemplo 0{,}5,\;1,\;2,\;4), desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos a_x=\sqrt{c/2} ao longo de x e a_y=\sqrt{c} ao longo de y. Use os interceptos (\pm a_x,0) e (0,\pm a_y) para orientar a elipse.
  4. Lembre-se: quanto maior c, maior a elipse; as elipses são todas semelhantes (mesma forma), apenas escaladas com fator \sqrt{c} (mais precisamente, o eixo x escala com \sqrt{c/2} e o eixo y com \sqrt{c}).
  5. Não desenhe curvas para c<0.
Dica: marcar duas ou três elipses (uma pequena, uma média e uma grande) já comunica bem o comportamento.

Passo 6

Interpretar e explicar o gráfico tridimensional z=f(x,y)=2x^{2}+y^{2}.
Ponha z=2x^{2}+y^{2}. Esta é uma superfície do tipo paraboloide elíptico com as seguintes propriedades:
  • Vértice em (0,0,0) (o valor mínimo de z é 0 em (0,0)).
  • Abre para cima (pois os coeficientes de x^{2} e y^{2} são positivos).
  • As seções transversais:
    • Para y=0 (plano que contém o eixo x): z=2x^{2} — parábola mais “íngreme”.
    • Para x=0 (plano que contém o eixo y): z=y^{2} — parábola menos íngreme.
  • A diferença de coeficientes ( 2 em x^{2} vs 1 em y^{2}) faz com que a curvatura seja maior na direção x (o vale é mais estreito nessa direção).

Passo 7

Como esboçar a superfície 3D passo a passo (modo prático para prova, sem necessidade de software).
  1. Desenhe três eixos: x (horizontal), y (horizontal, orthogonal ao x no plano), e z (vertical).
  2. Marque o vértice (0,0,0).
  3. Desenhe as duas seções principais:
    • No plano y=0: desenhe a parábola z=2x^{2} no plano y=0.
    • No plano x=0: desenhe a parábola z=y^{2} no plano x=0.
  4. Coloque alguns pontos para orientar a forma:
    • (1,0,2) e (-1,0,2) (estes estão mais altos do que (0,1,1) porque coeficiente de x^2 é maior).
    • (0,1,1) e (0,-1,1).
    • (1,1,3) etc.
  5. Desenhe curvas de nível projetadas no plano xy (conforme desenhadas nos passos anteriores) e imagine essas elipses sendo “levantadas” até a altura z=c. Conecte suavemente as elipses empilhadas formando uma espécie de “tigela” elíptica.
  6. Realce que a superfície é simétrica em torno dos planos x=0 e y=0.

Passo 8

Conselhos finais e coisas para comentar na prova (o que escrever rapidamente).
  • Escreva explicitamente a equação das curvas de nível: \;2x^{2}+y^{2}=c,\;c\ge0.
  • Indique semi-eixos: a_x=\sqrt{c/2}, a_y=\sqrt{c}.
  • Descreva a superfície em uma linha: z=2x^{2}+y^{2} é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) que abre para cima; curvatura maior na direção x.
  • Se for pedido um esboço, desenhe pelo menos três curvas de nível no plano e duas seções parabólicas no 3D (nos planos x=0 e y=0).
Força aí — com essas instruções dá para fazer um esboço claro em poucos minutos na prova.

Resposta

Curvas de nível: \;2x^{2}+y^{2}=c,\; c\ge0\; (elipses centradas na origem com semi-eixos \;a_x=\sqrt{c/2}\; e \;a_y=\sqrt{c}\;; c=0 reduz ao ponto (0,0); c<0 não existe).
Gráfico 3D: \;z=2x^{2}+y^{2}\; é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em (0,0,0); seção em y=0 é z=2x^{2} (parábola mais íngreme) e seção em x=0 é z=y^{2} (parábola menos íngreme).

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