Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a função dada
:
- Esboçar as curvas de nível (ou linhas de nível), isto é, os conjuntos
para constantes . - Esboçar o gráfico da função, isto é, a superfície
no espaço .
Informações fornecidas e observaçõe s imediatas:
- A função é
. - O domínio é todo o plano:
, porque a expressão dentro da raiz é sempre . - Valores de
são sempre não negativos: para todo .
Passo 2
Definição prática de curva de nível e solução da equação de nível.
Curva de nível para uma constante
é o conjunto de pontos que satisfazem
Substituindo
,
Antes de manipular, observo que a raiz quadrada produz valores
. Portanto:
- Se
, a equação não tem solução (não há curvas de nível para ). - Se
, posso elevar ambos os lados ao quadrado e obter
Passo 3
Interpretação geométrica das curvas de nível.
Da equação
conclui-se:
- Para
: é a circunferência de centro na origem e raio . - Para
: a equação reduz-se a , que tem única solução (um ponto). - Para
: sem soluções.
Portanto, as curvas de nível de
são círculos concêntricos no plano
com raios iguais aos valores
escolhidos (somente
). Exemplos úteis para desenhar:
correspondem a um ponto na origem e às circunferências de raios
e
.
Passo 4
Troca para coordenadas polares para entender a função e o gráfico.
Recordando as coordenadas polares:
Então
Logo, em coordenadas polares a função é simplesmente
: o valor da função em um ponto é a distância
desse ponto à origem.
Passo 5
Equação da superfície (gráfico) e sua interpretação geométrica.
O gráfico é a superfície no espaço dada por
Usando a relação anterior, isso é equivalente a
ou, em coordenadas cartesianas (eliminando
),
com a condição adicional
(porque
). Essa é exatamente a equação de um cone circular reto com vértice (ápice) na origem
, aberto para cima. Portanto o gráfico é um cone com vértice na origem e geratrizes fazendo um ângulo de
com o eixo
(porque
implica
para o ângulo
entre geratriz e eixo).
Passo 6
Como visualizar o cone com recortes e secções (dicas para desenhar).
- Secções horizontais (planos
com ): intersectam a superfície em círculos . Isso corresponde exatamente às curvas de nível que já encontramos. - Secções por planos que passam pelo eixo
(fixar um ângulo ): em coordenadas polares isso reduz ao gráfico da reta no plano , ou em coordenadas cartesianas, por exemplo no plano , temos
que é um “V” (duas retas) no corte
. No espaço, estas retas geram o cone inteiro ao rodar em torno do eixo
.
- O ângulo entre qualquer geratriz do cone e o eixo
é (ou ) porque implica .
Passo 7
Receita prática para esboçar (passo a passo que pode usar na prova)
- No plano
, desenhe algumas circunferências concêntricas de raios (ou outros valores úteis). Essas são as curvas de nível. - Para o gráfico em 3D: marque o vértice em
. Para cada circulo de raio desenhado no plano , levante-o até a altura ; o conjunto desses círculos horizontais, um em cada altura , forma o cone. - Se quiser reforçar a forma, desenhe uma secção pelo plano
: a curva será , o que ajuda a visualizar a inclinação do cone. - Lembre-se: não existe parte negativa em
para esta superfície, pois .
Passo 8
Resumo intuitivo curto e incentivo
- As curvas de nível mostram que a função depende só da distância ao centro: círculos concêntricos.
- O gráfico é um cone circular reto com vértice na origem, aberto para cima; cada círculo de raio
no plano corresponde à altura .
Você está indo bem — esse é um exemplo clássico e muito intuitivo. Desenhe algumas curvas de nível e faça os cortes que eu descrevi; rapidinho você pega o jeito de visualizar esse cone no espaço.
Resposta
Curvas de nível: para cada
a curva de nível é a circunferência
; para
é o ponto
; para
não há solução.
Gráfico: a superfície é o cone circular reto dado por (equivalente a
com
), com vértice em
e ângulo entre geratriz e eixo
igual a
.
Gráfico: a superfície é o cone circular reto dado por