Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a função dada f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
  • Esboçar as curvas de nível (ou linhas de nível), isto é, os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para constantes c.
  • Esboçar o gráfico da função, isto é, a superfície z=f(x,y) no espaço (x,y,z).
Informações fornecidas e observaçõe s imediatas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O domínio é todo o plano: (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, porque a expressão dentro da raiz é sempre \geq 0.
  • Valores de f são sempre não negativos: f(x,y)\geq 0 para todo (x,y).

Passo 2

Definição prática de curva de nível e solução da equação de nível.
Curva de nível para uma constante c é o conjunto de pontos que satisfazem
f(x,y)=c.
Substituindo f,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=c.
Antes de manipular, observo que a raiz quadrada produz valores \geq 0. Portanto:
  • Se c<0, a equação não tem solução (não há curvas de nível para c<0).
  • Se c\geq 0, posso elevar ambos os lados ao quadrado e obter
x^{2}+y^{2}=c^{2}.

Passo 3

Interpretação geométrica das curvas de nível.
Da equação
x^{2}+y^{2}=c^{2},
conclui-se:
  • Para c>0: é a circunferência de centro na origem e raio c.
  • Para c=0: a equação reduz-se a x^{2}+y^{2}=0, que tem única solução (0,0) (um ponto).
  • Para c<0: sem soluções.
Portanto, as curvas de nível de f são círculos concêntricos no plano xy com raios iguais aos valores c escolhidos (somente c\geq 0). Exemplos úteis para desenhar: c=0,\; c=1,\; c=2 correspondem a um ponto na origem e às circunferências de raios 1 e 2.

Passo 4

Troca para coordenadas polares para entender a função e o gráfico.
Recordando as coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\geq 0,\; \theta\in[0,2\pi).
Então
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r.
Logo, em coordenadas polares a função é simplesmente f(r,\theta)=r: o valor da função em um ponto é a distância r desse ponto à origem.

Passo 5

Equação da superfície (gráfico) e sua interpretação geométrica.
O gráfico é a superfície no espaço dada por
z=f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usando a relação anterior, isso é equivalente a
z=r,
ou, em coordenadas cartesianas (eliminando r),
z^{2}=x^{2}+y^{2},
com a condição adicional z\geq 0 (porque z=r\geq 0). Essa é exatamente a equação de um cone circular reto com vértice (ápice) na origem (0,0,0), aberto para cima. Portanto o gráfico é um cone com vértice na origem e geratrizes fazendo um ângulo de 45^\circ com o eixo z (porque z=r implica \tan\varphi=1 para o ângulo \varphi entre geratriz e eixo).

Passo 6

Como visualizar o cone com recortes e secções (dicas para desenhar).
  • Secções horizontais (planos z=c com c>0): intersectam a superfície em círculos x^{2}+y^{2}=c^{2}. Isso corresponde exatamente às curvas de nível que já encontramos.
  • Secções por planos que passam pelo eixo z (fixar um ângulo \theta): em coordenadas polares isso reduz ao gráfico da reta z=r no plano (r,z), ou em coordenadas cartesianas, por exemplo no plano y=0, temos
z=\sqrt{x^{2}}=|x|,
que é um “V” (duas retas) no corte y=0. No espaço, estas retas geram o cone inteiro ao rodar em torno do eixo z.
  • O ângulo entre qualquer geratriz do cone e o eixo z é \pi/4 (ou 45^\circ) porque z=r implica z/r=1.

Passo 7

Receita prática para esboçar (passo a passo que pode usar na prova)
  1. No plano xy, desenhe algumas circunferências concêntricas de raios c=0,\;1,\;2,\;3 (ou outros valores úteis). Essas são as curvas de nível.
  2. Para o gráfico em 3D: marque o vértice em (0,0,0). Para cada circulo de raio c desenhado no plano xy, levante-o até a altura z=c; o conjunto desses círculos horizontais, um em cada altura z=c, forma o cone.
  3. Se quiser reforçar a forma, desenhe uma secção pelo plano y=0: a curva será z=|x|, o que ajuda a visualizar a inclinação do cone.
  4. Lembre-se: não existe parte negativa em z para esta superfície, pois f\geq 0.

Passo 8

Resumo intuitivo curto e incentivo
  • As curvas de nível mostram que a função depende só da distância ao centro: círculos concêntricos.
  • O gráfico é um cone circular reto com vértice na origem, aberto para cima; cada círculo de raio c no plano xy corresponde à altura z=c.
Você está indo bem — esse é um exemplo clássico e muito intuitivo. Desenhe algumas curvas de nível e faça os cortes que eu descrevi; rapidinho você pega o jeito de visualizar esse cone no espaço.

Resposta

Curvas de nível: para cada c\geq 0 a curva de nível é a circunferência x^{2}+y^{2}=c^{2}; para c=0 é o ponto (0,0); para c<0 não há solução.
Gráfico: a superfície é o cone circular reto dado por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (equivalente a z^{2}=x^{2}+y^{2} com z\geq 0), com vértice em (0,0,0) e ângulo entre geratriz e eixo z igual a \pi/4.

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